Стандартная модель транспортной задачи (тз)

Задача о размещении (транспортная задача) - это РЗ, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ

1. n - количество пунктов отправления, m - количество пунктов назначения.

2. - запас продукции в пункте отправления Ai (i = 1,n ) [ед. тов.].

3. - спрос на продукцию в пункте назначения В: (j = l,m) [ед. тов.].

4. Cij - тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления Ai в пункт назначения Вj, [руб./ед. тов.].

Искомые параметры модели ТЗ

1. - количество продукции, перевозимой из пункта отправления Ai в пункт назначения Вj [ед. тов.].

2. L(X) - транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

Этапы построения модели

1. Определение переменных.

2. Проверка сбалансированности задачи.

3. Построение сбалансированной транспортной матрицы.

4. Задание ЦФ.

5. Задание ограничений.

Транспортная модель

^{L(Х)= min}

i=1,n

Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления.

Если это условие выполняется, то ТЗ называется сбалансированной, в противном случае - несбалансированной. Поскольку ограничения модели приведенные выше могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса . В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

Введение фиктивного потребителя или отправителя повлечет необходимость формального задания фиктивных тарифов (реально не

существующих) для фиктивных перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных реальных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть

>max

На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью

введения так называемых запрещающих тарифов . Запрещающие тарифы

должны сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:

>max

В моем случае задача является не сбалансированной, так как сумма запасов продукции во всех пунктах отправления не равняется суммарной потребности во всех пунктах потребления.

510+400+460+790=600+550+420+780+400

Оптимальным решением такой задачи может стать, решение задач в табличном редакторе Excel методом подбора «Поиска решения», предназначенного для решения задач математического программирования, в частности, задач линейного программирования.

Подготовка исходных данных

Параметры перевозок от изготовителей к потребителям

	Потреби- тель А	Потреби- тель Б	Потреби- тель В	Потреби- тель Г	Потреби- тель Д	Произве- дено
Изготовитель 1	10	2	1	10	20	510
Изготовитель 2	24	18	20	14	26	400
Изготовитель 3	32	54	16	28	10	460
Изготовитель 4	16	30	55	45	46	790
Спрос на товар потребителями	600	550	420	780	400

Формулы экранной формы задачи.

Объект математической модели.	Выражение в Excel.
Переменные задачи	B3:F6
Формула в целевой ячейке B19	=СУММПРОИЗВ(B3:F6; B13:F16)
Ограничения по строкам в ячейках:G3;G4;G5;G6;G7	=СУММ(B3:F3) =СУММ(B4:F4) =СУММ(B5:F5) =СУММ(B6:F6)
Ограничения по столбцам в ячейках:B7;C7;D7;E7;F7	=СУММ(B3:B6) =СУММ(C3:C6) =СУММ(D3:D6) =СУММ(E3:E6) =СУММ(F3:F6)
Суммарные запасы и потребности в ячейках H9; I8	=СУММ(B9:F9) =СУММ(I3:I6)

1. Численное решение модели

Вариант 1: Перевозки от изготовителей к потребителям

Для решения задачи линейного программирования воспользуемся функцией табличного редактора Excel «Поиск решения».

Результаты

	Потреби-тель1	Потреби-тель 2	Потреби-тель3	Потреби-тель 4	Потреби-тель 5
Изготовитель 1	0	0	420	90	0
Изготовитель 2	0	0	0	400	0
Изготовитель 3	0	10	0	50	400
Изготовитель 4	600	160	0	30	0
Ф.Изготовитель	0	380	0	210	0

F(x)=28610.

Минимальные суммарные затраты при варианте перевозок от изготовителя непосредственно потребителю составляют 28610 единиц.

Вариант 2: перевозки от изготовителей к оптовым базам, затем к потребителям.

Объем всех имеющихся оптовых баз рассчитан на 2250 единиц продукции, в то же время изготовитель способен удовлетворить спрос на 2250 единиц продукции. Таким образом продукция дойдёт до потребителя в полном объеме.

В данной задаче есть запрещенные перевозки:

• от изготовителя к потребителю;

• от оптовой базы к оптовой базе.

Для запрещенных перевозок устанавливается стоимость перевозки, превышающая все имеющиеся значения (в этом случае, она окажется самой невыгодной).

Подготовка исходных данных

Параметры перевозок от изготовителей к оптовым базам

	Оптовая база 1	Оптовая база 2	Оптовая база 3	Произведено изготовителями
Изготовитель 1	27	10	31	510
Изготовитель 2	15	21	25	620
Изготовитель 3	11	22	27	660
Изготовитель 4	26	20	20	420
Запасы на базах	300	420	730

Параметры перевозок от оптовых баз к потребителям

	Потреби-тель А	Потреби-тель Б	Потреби-тель В	Потреби-тель Г	Потреби-тель Д	Запасы
Оптовая база 1	15	12	11	10	20	300
Оптовая база 2	20	14	25	24	15	420
Оптовая база 3	12	36	20	16	36	730
Спрос на товар потребителями	600	550	420	780	400

Формулы экранной формы задачи.

Объект математической модели.	Выражение в Excel.
Переменные задачи	B3:I9
Формула в целевой ячейке B29	=СУММПРОИЗВ(B3:I9; B19:I25)
Ограничения по строкам в ячейках:J3;J4;J5;J6;J7;J8;J9	=СУММ(B3:I3) =СУММ(B4:I4) =СУММ(B5:I5) =СУММ(B6:I6) =СУММ(B7:I7) =СУММ(B8:I8) =СУММ(B9:I9)
Ограничения по столбцам в ячейках:B10;C10;D10;E10;F10;G10;H10;I10	=СУММ(B3:B9) =СУММ(C3:C9) =СУММ(D3:D9) =СУММ(E3:E9) =СУММ(F3:F9) =СУММ(G3:G9) =СУММ(H3:H9) =СУММ(I3:I9)
Суммарные запасы и потребности в ячейках K13; L12	=СУММ(B10:I10) =СУММ(J3:J9)

Численное решение модели

Вариант 2: Перевозки от изготовителей к оптовым базам, затем к потребителям

Для решения задачи линейного программирования воспользуемся функцией табличного редактора Excel «Поиск решения».

Результаты

	Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель3	Потребитель 4	Потребитель 5	Оптовая база 1	Оптовая база 2	Оптовая база 3
Изготовитель 1	0	0	0	48	0	0	1	461
Изготовитель 2	0	0	0	0	69	207	267	77
Изготовитель 3	0	0	0	342	79	67	81	91
Изготовитель 4	0	0	102	136	46	26	49	62
Оптовая база 1	0	112	125	39	24	0	0	0
Оптовая база 2	0	279	44	51	47	0	0	0
Оптовая база 3	383	88	85	94	73	0	0	8

F(x)=139751.

Минимальные суммарные затраты при варианте перевозок от изготовителя непосредственно потребителю составляют 139751 единиц.

Вариант 3: Перевозки ИЗГОТОВИТЕЛЬ – ОПТОВАЯ БАЗА – ПОТРЕБИТЕЛЬ; ИЗГОТОВИТЕЛЬ – ПОТРЕБИТЕЛЬ

В третьем варианте «поставщиками» из определения транспортной задачи являются как изготовители продукции, так и оптовые базы. «Потребителями» являются как организации-потребители, так и оптовые базы.

В данной задаче есть запрещенные перевозки: от оптовой базы к оптовой базе.

Для запрещенных перевозок устанавливается стоимость перевозки, превышающая все имеющиеся значения (в этом случае, она окажется самой невыгодной).

Применив «Поиск решения» табличного редактора Excel получим:

	Оптовая база 1	Оптовая база 2	Оптовая база 3
Изготовитель 1	0	0	79
Изготовитель 2	42	62	105
Изготовитель 3	61	77	109
Изготовитель 4	34	50	82

	Потреби-тель 1	Потреби-тель 2	Потреби-тель 3	Потреби-тель 4	Потреби-тель 5
Оптовая база 1	59	40	6	66	26
Оптовая база 2	31	62	27	87	48
Оптовая база 3	96	96	62	122	82
Ф.Оптовая база	45	77	42	102	63

	Потреби-тель 1	Потреби-тель 2	Потреби-тель 3	Потреби-тель 4	Потреби-тель 5
Изготовитель 1	149	41	152	90	0
Изготовитель 2	108	85	50	110	59
Изготовитель 3	81	89	54	114	75
Изготовитель 4	31	62	27	87	48

Суммарные затраты составляют 121026 денежных единиц.