1. найти нормальное , касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом и изображенной на рис. 2.14;

2. найти величины наибольшего касательного напряжения и соответствующего ему нормального напряжения, показать положение площадки, на которой эти напряжения действуют;

3. 

   Рис. 2.15. Уточнение

   Условия задачи Решение

   проверить прочность материала; найти действительный коэффициент запаса прочности.

Заданный элемент ограничен главными площадками, поэтому сразу нумеруем главные напряжения по убыванию (, МПа, МПа) и изображаем на рисунке главные оси (рис. 2.15).

Определение напряжений. Напряжения на наклонной площадке вычисляются так же, как в задаче № 7. Единственное отличие состоит в том, что можно использовать частный случай (2.4) общих формул (2.2а) и (2.2б). Положение наклонной площадки будем задавать углом , отсчитываемым от оси 3 к нормали n. Значение положительно, так как угол отсчитывается против часовой стрелки.

Согласно (2.4)

Модуль полного напряжения

МПа.

Примененная формула для касательного напряжения справедлива для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа. Максимальное для таких площадок касательное напряжение

МПа.

Соответствующее нормальное напряжение

Рис. 2.17. Площадка

с максимальным касательным напряжением

МПа.

Рис. 2.16. Площадка

с максимальным касательным напряжением

Подсчитанное выше значение касательного напряжения не самое большое из всех возможных значений. Это значение является максимумом для касательных напряжений по площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа. Площадка, на которой действует , расположена под углом 45° к главным площадкам 2, 3 (рис. 2.16).

Максимальное касательное напряжение (максимум вычисляется для всех возможных площадок, проведенных через точку) и соответствующее ему нормальное напряжение имеют величины

МПа,

МПа

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское

напряженное состояние

и действуют на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и повернутой на угол в 45° к первой и третьей главным площадкам (рис. 2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от результата в задаче № 7, .

Круг напряжений для заданного плоского напряженного состояния показан на рис. 2.18. Координаты точки дают значение напряжений на площадке с нормалью n. Площадке с соответствует точка круга.

Рис. 2.19. Круги Мора,

изображающие объемное

напряженное состояние

На рис. 2.19 показаны все три круга напряжений. Видно, что площадке с наибольшим по модулю касательным напряжением соответствует точка, лежащая на бóльшем круге напряжений.

Проверка прочности. По условию задачи материал элемента хрупкий. При проверке прочности используем теории прочности, относящиеся к хрупким материалам.

Расчетное напряжение, соответствующее первой теории прочности

.

Видим, что первая теория прочности не годится для оценки прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений прочность обеспечена.

Расчетное напряжение по второй теории прочности:

Прочность обеспечена с фактическим коэффициентом запаса

,

большем нормативного ().

Расчетное напряжение по теории прочности Мора,

Прочность обеспечена. Фактический коэффициент запаса таков:

.

Рис. 2.20. Опасная площадка

по первой и второй теориям

прочности

Опасная плоскость показана на рис. 2.20 жирной линией. Она перпендикулярна первому главному направлению. Если напряженное состояние достигнет критического уровня (для этого все напряжения надо увеличить в раз), то по указанной плоскости произойдет разрушение.

2.3. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ,

ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ, ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА

(ЗАДАЧА № 9)

Основные формулы

Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего

давления, продольной силы и крутящего момента

Рассматривается цилиндрическая труба наружным радиусом R, толщиной стенки  (рис. 2.21). Отношение . Отношение длины l к радиусу . Труба нагружена внутренним давлением , по ее торцам приложены силы и крутящие моменты .

Напряжения в трубе обозначаем, используя местную декартову систему координат x, y, z: ось x параллельна оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R.

Сила вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилие и создает нормальное напряжение (рис. 2.22)

.

Рис. 2.23. Напряжения в трубе

от внутреннего давления

Здесь – площадь поперечного сечения тонкостенной трубы.

Рис. 2.22. Напряжения

в трубе от продольной силы

Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение в продольных сечениях трубы:

.

Рис. 2.24. Напряжения

в трубе от крутящего

момента

Напряжения положительны при . Случай отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности.

Крутящий момент создает касательные напряжения (рис. 2.24):

.

Они направлены так, чтобы уравновесить пару сил М.

По толщине трубы напряжения распределены равномерно. Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо малы: , .

Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.