- •Введение
- •1. Цель работы
- •2. Основные понятия о векторах
- •3. Критерий равенства двух векторов
- •4. Координаты точек на прямой, плоскости и в пространстве
- •5. Две теоремы о проекции вектора на ось
- •6. Сложение векторов
- •7. Умножение вектора на скаляр
- •8. Линейно зависимые и линейно независимые векторы
- •9. Разложение вектора по координатным ортам
- •10. Критерии коллинеарности двух векторов
- •11. Деление отрезка в данном отношении
- •12. Скалярное произведение двух векторов
- •13. Понятие векторного произведения двух векторов
- •14. Смешанное произведение трёх векторов
- •15. Свойства векторного произведения двух векторов
- •16. Представление смешанного произведения трёх векторов через проекции перемножаемых векторов на коордонатные оси
- •17. Двойное векторное произведение трёх векторов
- •18.Угол между векторами
- •19. Критерий коллинеарности двух векторов
- •20. Критерии перпендикулярности двух векторов
- •21. Критерии компланарности трёх векторов
- •23. Площадь треугольника
9. Разложение вектора по координатным ортам
Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.
.
Здесь используются обозначения: , ,
Доказательство.
Совместим начало вектора с началом декартовой системы координат, т.е. построим вектор такой, что .
Построим составляющие вектора по координатным осям:
, , .
Согласно определению суммы векторов,
,
или, что то же самое, .
Если применить теперь теорему о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси, то получим т.е. что и требовалось доказать.
Теорема. Разложение вектора по координатным ортам единственно.
Доказательство. Пусть . Покажем, что , , Вычислим проекцию вектора на ось . На основании теоремы о проекции суммы векторов на ось .
Воспользуемся теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр. Тогда получим . Так как , , , то имеем и потому .
Аналогично можно доказать, что и
Разложение орта вектора по координатным ортам
Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов между координатными осями и рассматриваемым вектором , т.е. , , .
Теорема. Орт вектора может быть представлен в виде линейной комбинации координатных ортов с соответствующими направляющими косинусами этого вектора, т.е.
Доказательство. По теореме о разложении вектора по координатным ортам
и так как , , , то
Разложение радиуса-вектора точки по координатным ортам
Теорема. Радиус-вектор точки может быть представлен в виде линейной комбинации координатных ортов с декартовыми координатами точки , т.е.
,
где - радиус-вектор точки , , , - декартовы координаты точки .
Доказательство. Всякий вектор может быть представлен в виде:
.
Применительно к радиусу-вектору точки имеем
Согласно определению декартовых координат точки
, , ,
и потому .
Разложение вектора ММ по координатным ортам
Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации координатных ортов с разностями соответствующих одноименных координат конца и начала рассматриваемого вектора, т.е.
.
где , , - декартовы координаты точки , , , - декартовы координаты точки .
Доказательство. Согласно теореме о разложении вектора по координатным ортам, имеем
,
или, с учетом теоремы о проекции вектора на числовую ось,
.
Утверждение доказано.
Определение. Совокупность двух векторов и называется базисом плоскости, если любой вектор, расположенный в плоскости векторов и , может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и с некоторыми числами и , т.е. для любого вектора , расположенного в плоскости векторов и , существуют числа и такие, что . Можно доказать, что совокупность любых двух неколлинеарных векторов является базисом плоскости. Аналогично вводится понятие базиса пространства.
Определение. Совокупность трех векторов , и называется базисом пространства, если любой вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов , и , с некоторыми числами , и , т.е. для любого вектора в пространстве существуют числа , и , такие, что .
В теореме о разложении вектора по координатным ортам было показано, что для любого вектора справедливо равенство
.
Следовательно, совокупность ортов является базисом пространства.
Можно доказать, что совокупность любых трех некомпланарных векторов является базисом пространства.