- •Основы теории управления
- •Тема 3. Системы автоматического управления
- •Введение
- •3.1. Структура и функциональные компоненты сау [1].
- •3.2. Математическая модель объекта управления [1, 8].
- •3.3. Временные характеристики сау [7, 8].
- •3.4. Частотные характеристики сау [7, 8, 9, 14].
- •3.5. Характеристики элементарных звеньев систем [1, 7, 8, 9].
- •3.6. Построение моделей вход-выход [1].
- •Литература
3.6. Построение моделей вход-выход [1].
Модель вход-выход строится по известным уравнениям отдельных компонентов (блоков, звеньев). Процедура сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение отдельных блоков, к единому уравнению системы управления.
Простейшие соединения блоков. Возможны три способа соединения звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное или соединение с обратной связью (ОС).
Рис. 3.6.1.
X2(p) = W2(p) X3(p), X1(p) = W1(p) X2(p) = W1(p)W2(p)X3(p).
W(p) = W1(p) W2(p).
Таким образом, систему из неограниченного количества звеньев, включенных последовательно, можно заменить одним эквивалентным звеном с передаточной функцией W(p) равной произведению передаточных функций звеньев.
Рассмотрим последовательное соединение апериодического звена (с единичным коэффициентом передачи W1(p) = 1/(Tp+1)) и идеального дифференцирующего звена (W2(p) = kp). Передаточная функция
W(p) = kp/(Tp+1),
что полностью совпадает с передаточной функцией реального дифференцирующего звена.
Рис. 3.6.2.
X2(p) = W1(p) X4(p), X3(p) = W2(p) X4(p).
X1(p) = X2(p)+X3(p) = (W1(p)+W2(p)) X4 (p).
W(p) = W1(p)+W2(p).
Из последнего выражения следует, что параллельное соединение звеньев эквивалентно одному звену с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций, входящих в соединение звеньев. Переходная характеристика:
H(t) =Hi(t).
Построение переходной характеристики параллельного соединения заключается в построении переходных характеристик отдельных звеньев на одном графике и суммировании их ординат для одних и тех же значений времени.
Пример: ПИ-регулятор - параллельное соединение пропорционального (W1(p)=kп) и интегрирующего звеньев (kи/p). Передаточная функция
W(p) = (kпp + kи)/p.
Рис. 3.6.3.
X1(p) = W1(p) X2(p), X3(p) = W2(p) X1(p), X2(p) = X4(p) – X3(p).
Решая эти три уравнения относительно X1(p), находим:
X1(p) = X4(p) W1(p) /(1+ W1(p)W2(p)).
Передаточная функция
W(p) = W1(p) /(1+ W1(p)W2(p)). (3.6.1)
Полученная передаточная функция может интерпретироваться как передаточная функция последовательно соединенных звеньев с передаточной функцией W1(p) и системы с передаточной функцией:
Ф(p) = 1/(1+Wрс),
где Wрс = W1(p)W2(p) - передаточная функция разомкнутой системы, например, в точке “а”.
При охвате любого звена единичной ОС (т.е. при W2 (p) = 1) разомкнутая система преобразуется в замкнутую с передаточной функцией (из выражения (3.6.1)):
W(p) = W1(p) /(1+ W1(p)).
С другой стороны, если в выражении (3.6.1) обеспечить высокий коэффициент усиления в цепи прямой связи (W1(p) → ∞), то 1 в знаменателе можно пренебречь и свойства звена определяются только свойствами цепи ОС:
W(p) = 1/W2(p).
Рис. 3.6.4.
W(p) = 1/(p2+2) = k/(T2p2 +1),
где k = 1/2, T = 1/.
Передаточные функции систем управления.
Система управления без обратной связи (разомкнутая система), состоящая из последовательно соединенных регулятора и объекта управления (рис. 3.6.5).
Рис. 3.6.5.
Y(p) = Wo(p) U(p),
а регулятор представлен выражением
U(p) = K(p) y*(p),
где y(t) ↔ Y(p) - выходная переменная, u(t) ↔ U(p) - управляющее воздействие, y*(t) ↔ y*(p) - задающее воздействие (вход системы), Wo(p) и К(р) - передаточные функции (произвольные интегро-дифференциальные операторы).
Используя правило построения модели последовательно соединенных блоков, находим уравнение
y(t) ↔ Y(p) = W(p) y*(p),
связывающее выходную переменную y(t) и входную переменную через передаточную функцию разомкнутой системы W(p) = Wo(p)K(p).
Замкнутая система управления, т. е. система, представленная объектом управления и регулятором отклонения (рис. 3.6.6):
Рис. 3.6.6.
(p) ↔ (t) = y*(t)-y(t),
где (t) - рассогласование (отклонение). Используя правило (3.6.1), находим модель замкнутой системы в виде
Y(p) = W(p) y*(p),
W(p) = K(p)Wo(p) /(1+K(p)Wo(p)).
Замыкание системы приводит к изменению знаменателя ее передаточной функции - характеристического полинома системы, а, следовательно, и корней полинома (полюсов системы).