Лекция №13

Метод возможных направлений

Рассмотрим задачу выпуклого программирования

(13.1)

где допустимая область задается так

(13.2)

Поскольку функции , ,.., предполагаются выпуклыми, то в силу рассмотренных ранее свойств выпуклых функций задача (13.1)-(13.2) есть задача минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве.

Введя в рассмотрение индексные множества

, ,

имеем

. (13.3)

Для сокращения записей обозначим

,

Тогда ЗВП запишется в виде

.

Идея метода возможных направлений (МВН) заключается в том, что в каждой очередной точке находится направление спуска такое, что перемещение точки по этому направлению на некоторое расстояние не приводит к нарушению ограничений задачи. Таким образом, МВН можно рассматривать как естественное распространение метода градиентного спуска на задачи минимизации с ограничениями. В отличие от других численных методов решения таких задач, метод возможных направлений обладает тем преимуществом, что для отыскания направления спуска достаточно решить задачу линейного программирования с небольшим числом ограничений.

Для описания метода возможных направлений введем ряд определений.

Определение 13.1. Направление, определяемое вектором , называется возможным направлением в точке , если достаточно малое перемещение из в направлении не выводит точку за пределы допустимой области, т.е., если существует такое число , что для всех .

Очевидно, если является внутренней точкой множества , то любое направление в этой точке является возможным.

Определение 13.2. Возможное направление, определяемое вектором , называется подходящим направлением в точке , если перемещение из точки по этому направлению осуществляется с уменьшением значения функции, т.е., если .

Очевиден геометрический смысл этого утверждения: угол между вектором, задающим подходящее направление в точке , и антиградиентом минимизируемой функции в данной точке острый.

Следствием введенных определений является утверждение: если в точке подходящих направлений нет, то функция достигает в этой точке своего минимума на множестве , т.е.

.

В самом деле. Пусть в точке нет ни одного подходящего направления, т.е. для любого вектора в точке выполняется неравенство . Тогда при перемещении из точки по любому из этих направлений функция не убывает

.

Следовательно, - точка локального минимума .

Вычислительные алгоритмы метода возможных направлений

Метод возможных направлений осуществляется следующим образом.

1. Точка начального приближения находится в допустимой области .

2. Последовательность точек , принадлежащих , строится так, чтобы выполнялись неравенства . При этом, строя точку так, чтобы выполнялось неравенство

, обнаруживаем, что либо не ограничена, либо такой точки не существует, т.е. - оптимальная точка. В обоих случаях процесс решения задачи прекращается. Задача решена.

Процедура построения точки состоит из двух этапов:

а) в точкеопределяется подходящее направление ,

б) определяется длина шага такая, что принадлежит и . Так как направление подходящее, то при этом оказывается, что .

3. Выбор подходящих направлений в точках производится так, что обеспечивается сходимость значений к , либо обнаруживается, что последовательность не ограничена.

Методы возможных направлений можно рассматривать как градиентные методы с конечным шагом. Многие методы линейных и нелинейных задач математического программирования можно трактовать как методы возможных направлений. Они различаются лишь дополнительными требованиями к выбору начальной точки , направления и длины шага . В частности к таким методам относится и симплекс- метод решения ЗЛП.