2. Затухающие электромагнитные колебания

Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением (рис.3). Электромагнитная энергия, запасённая в контуре, постепенно тратится на нагревание. Свободные электромагнитные колебания будут затухать.

Возбуждение колебаний в электрическом колебательном контуре можно производить путем подачи на него коротких однополярных импульсов напряжения (рис.4). В промежутках между импульсами внешнего напряжения нет, и в контуре протекает изменяющийся во времени ток. Запишем закон Ома для этого случая:

. (18)

В этом выражении – падение напряжения на активном сопротивлении; – напряжение на конденсаторе; - э.д.с. самоиндукции.

В любой момент времени ток в контуре равен:

; (19)

напряжение на конденсаторе:

; (20)

Э.Д.С. Самоиндукции, возникающая в катушке:

. (21)

Подставим выражения (19), (20), (21) в закон Ома (18), проведём преобразования и получим:

. (22)

Введём обозначения:

, (23)

. (24)

Тогда уравнение (22) можно записать в виде:

. (25)

Уравнение (25) представляет собой однородное дифференциальное уравнение. Его решение (при β<ω₀) имеет вид:

. (26)

Здесь и определяются из начальных условий, β и ω определяются свойствами самого контура. Величина называется коэффициентом затухания; .

График зависимости q(t) приведен на рисунке 5. Пунктирная кривая соответствует функции .

Из формулы (26) и из графика следует, что затухающие колебания не являются периодическими. Однако, при их описании используют те же термины, что и для гармонических колебаний.

Величину

называют циклической частотой затухающих колебаний.

Величину

называют условным периодом затухающих колебаний.

При небольших затуханиях и , тогда

. (27)

Множитель

(28)

называют амплитудой затухающих колебаний. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается во времени тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β (рис.6). Величина обратная коэффициенту затухания имеет размерность времени, ее принято называть временем релаксации. Из выражения (28) следует, что время релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

При увеличении коэффициента затухания условный период возрастает и при Т ∞ (формула 26). Это означает, что при вместо колебаний в контуре будет происходить апериодический разряд конденсатора (рис.6).

Минимальное значение активного сопротивления контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим. Критическое сопротивление находится из условия :

, (29)

. (30)

Рассмотрим ещё одну величину, характеризующую затухание: логарифмический декремент затухания δ. В общем случае он равен натуральному логарифму отношения двух значений амплитуд, взятых через один период колебаний:

. (31)

Для нахождения δ подставим в формулу (31) выражение (28), получим:

,

или . (32)

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности. Добротность характеризует потери энергии в системе и определяется общей формулой:

. (33)

В формуле (33) W(t) – энергия колебательной системы в момент времени t; W(t) – W(t + T) – убыль энергии за 1 период колебаний.

При малых затуханиях добротность контура определяется приближенной формулой:

. (34)

Подставим в формулу (34) выражения для периода колебаний и коэффициента затухания, получим:

. (35)