4. Γ(ут)-модификация для критерия произведений (р γ(ут)-критерий)

Соответствующие процедуры γ(УТ)-модификации, которые обусловливают именно частичный сдвиг семейства линий уровня критерия (к утопической точке поля полезностей), применительно к Р-критерию произведений реализуются аналогично процедурам такого типа, представленным выше для ММ-критерия и HW-критерия. Получаемый в результате указанной модификации новый модифицированный критерий принятия решений в условиях неопределенности далее обозначаем кратко как Р_γ(УТ)-критерий.

Таким образом, алгоритм оптимизации решения в рамках указанного Р_γ(УТ)-критерия можно формализовать такими же шагами. На начальном шаге уточняется конкретное значение коэффициента γ (), выбор которого должен быть реализован в соответствии с системой предпочтений ЛПР в пространстве доходов. Дальнейшие шаги - следующие.

Шаг 1. Применительно к исходной матрице полезностей, которую формализовали для соответствующей задачи оптимизации решения в условиях неопределенности, по формулам (*), (**) и (***) реализуются процедуры требуемой γ(УТ)-модификации. В результате получается новая модифицированная матрица полезностей.

Шаг 2. Для указанной новой модифицированной матрицы полезностей реализуются процедуры классического Р-критерия. Это означает, что к такой матрице дописывается дополнительный столбец. Его элементы определяются как произведение элементов соответствующей строки указанной матрицы.

Замечание. Предварительно, если это необходимо, реализуются соответствующие дополнительные процедуры «модификации новой полученной матрицы полезностей на положительность», т.к. при использовании Р-критерия имеются соответствующие ограничения.

Шаг 3. По элементам дополнительного столбца модифицированной матрицы полезностей определяется наилучшее / оптимальное решение. А именно, это – решение, которому соответствует наилучший (наибольший) показатель в дополнительном столбце указанной матрицы.

Для формального представления семейства линий уровня Р_γ(УТ)-критерия напомним и уточним следующую особенность. В контексте соответствующих правил теории принятия решений в условиях неопределенности процедуры оптимизации, которые соответствуют критерию произведений, требуют иного представления. Для “линий уровня”, которые характеризуют решение , они задаются не как произведение элементов i-ой строки матрицы полезностей, а как среднее геометрическое таких элементов. Поскольку затем выбирается решение, для которого такой показатель будет максимальным, то переход к использованию (на практике) именно показателя произведения (а не среднего геометрического) не изменит выбора. Тем не менее, представление аппарата линий уровня этого критерия для иллюстрации положений теории удобно реализовать именно на основе указанного среднего геометрического показателя.

Соответственно, в рамках рассматриваемого здесь Р_γ(УТ)-критерия семейство линий уровня критерия будет определяться равенствами типа:

.

Здесь

• К – показатель линии уровня;

• γ - выбранный ЛПР показатель коэффициента для частичного сдвига линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей;

• ∆_α - соответствующие показатели (применительно к каждой координатной оси), добавление которых к аргументам критериальной функции, обеспечивает именно100%-ый сдвиг семейства линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей ().

Пусть

– вариант возможного решения ЛПР

– вариант возможной ситуации

– доход / прибыль для ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая;

– соответствующая исходная матрица полезностей для задачи оптимизации.

- требуемые «добавки» к элементам j-го столбца исходной матрицы полезностей при реализации процедур γ(УТ)-модификации (в рамках предпочтений ЛПР).

Тогда для целевой функции модифицированного критерия имеем:

,

где

,

причем для всех i и j , т.е. для всех элементов новой модифицированной матрицы полезностей предполагается выполненным неравенство > 0.

Графическую интерпретацию для семейства линий уровня этого критерия, а также соответствующие особенности выбора оптимального решения, представьте самостоятельно.

Для иллюстрации численных процедур этого метода рассмотрим (для удобства сравнения результатов) уже знакомый нам пример.

ПРИМЕР 6.3. Для удобства изложения опять напомним исходные данные в рамках рассматриваемого примера. А именно, после формализации задачи принятия решений выделено множество из 4-х случайных событий, которые необходимо учитывать в рамках соответствующих решений. Кроме того, пусть анализируются 6 альтернативных решений , из которых требуется выбрать наилучшее. При этом соответствующая матрица полезностей имеет вид:

Решения	Доходы при событиях:
X1	5	4	3	3
X2	6	2	6	4
X3	-3	6	2	12
X4	3	9	1	5
X5	7	1	5	3
X6	6	6	1	4

Найдем наилучшее решение по Р_γ(УТ)-критерию применительно к ситуации, когда, например, ЛПР для параметра γ (в рамках указанной модификации классического критерия пессимизма) выбирает значение γ= 0,8.

Шаг 1. Сначала подчеркнем, что соответствующая утопическая точка в поле полезностей применительно к этой задаче остается прежней (см. примеры 6.1 - 6.2), т.е. имеет координаты:

Х_У = (7; 9; 6; 12).

Соответственно и показатели для величин «сдвигов» по j-ой координатной оси в пространстве доходов (для случая 100%-ой реализации таких сдвигов), определяемые формулами (*), остаются прежними:

= 12 – 7 = 5; = 12 – 9 = 3;

= 12 – 6 = 6; = 12 – 12 = 0.

После этого определяем показатели = с учетом требований ЛПР применительно к частичной реализации соответствующего сдвига (здесь в этом примере - 80% вместо 100% при указанных значениях ):

= 0,8∙5 = 4; = 0,8∙3 = 2,4;

= 0,8∙6 = 4,8; = 0,8∙0 = 0.

Наконец, с учетом формул (****) для перехода к новым элементам матрицы, выписываем соответствующую модифицированную матрицу полезностей:

Решения	Доходы при событиях:
X1	9	6,4	7,8	3
X2	10	4,4	10,8	4
X3	1	8,4	6,8	12
X4	7	11,4	5,8	5
X5	11	3,4	9,8	3
X6	10	8,4	5,8	4

Шаг 2. Для указанной новой модифицированной матрицы полезностей реализуем процедуры интересующего нас Р-критерия. Подчеркнем, что все элементы новой модифицированной матрицы полезностей являются положительными. Соответственно предварительные процедуры «модификации на положительность» не требуются. Произведения элементов матрицы по строкам представлены в соответствующем дополнительном ее столбце.

Решения	Доходы при событиях:				Показатель Р γ(УТ)-критерия
X1	9	6,4	7,8	3	1,35∙103
X2	10	4,4	10,8	4	1,90∙103
X3	1	8,4	6,8	12	0,70∙103
X4	7	11,4	5,8	5	2,31∙103
X5	11	3,4	9,8	3	1,10∙103
X6	10	8,4	5,8	4	1,95∙103

Шаг 3. Находим самый большой элемент в дополнительном столбце модифицированной матрицы полезностей. Он равен 2,31∙10³ (и выделен в дополнительном столбце матрицы). Соответствующее альтернативное решение (альтернатива X₄ ) является оптимальным выбором по Р_γ(УТ)-критерию (применительно к ситуации γ = 0,8).

ЗАМЕЧАНИЕ. Сравнивая полученный здесь результат с результатом выбора по Р-критерию (без указанной γ(УТ)-модификации, см. пример 2.2) видим, что оптимальный выбор изменился. Здесь модифицированный Р_γ(УТ)-критерий выбрал альтернативу X₄ , в то время как обычный Р-критерий (без указанной модификации) выбрал альтернативу X₂. Более того, подчеркнем, следующее. В рамках модифицированного Р_γ(УТ)-критерия анализируемые шесть альтернативных решений ранжируются уже совсем по-другому (не так, как применительно к обычному Р-критерию, без указанной γ(УТ)-модификации). А именно, в рассматриваемом здесь случае указанные альтернативы ранжируются (в порядке убывания предпочтения) следующим образом:

X₄, X₆, X₂, X₁, X₅, X₃.

Естественно, для тех ЛПР, которые именно так и ранжировали бы указанные альтернативные решения, соответствующая модификация (при γ = 0,8) вполне могла бы соответствовать предпочтениям ЛПР. Разумеется, для выбора именно такого критерия применительно к задаче оптимизации решения в условиях неопределенности понадобится дополнительный анализ. Поэтому еще раз обратим внимание на то, что менеджерам необходимо понимать особенность представленной здесь модификации Р-критерия и уметь использовать ее, чтобы более эффективно адаптировать линии уровня критерия применительно к системе предпочтений ЛПР.