Из чертежа видно, что
пределы
интегрирования
будут
и
(рис.
3).
Рис.
3 
.
(кв.
ед.).
Пример
51. вычислить
длину одной арки циклоиды
(рис.
4).
Решение:
Из соотношения
видно, что значение
соответствует
,
соответствует
,
.
Так как уравнение линии
задано в декартовых координатах
(вид в), то используем формулу (2в),
табл.:
,
.
Рис.
4
.
Пример
52. Вычислить
длину кардиоиды
,
соответствующую
.
Решение:
Уравнение кривой задано в полярных
координатах, следовательно, при решении
воспользуемся формулой (2д). Изменение
задано, следовательно, выполнение
чертежа необязательно.
(ед.
длины).
Пример
53. Вычислить
объем тела, образованного вращением
вокруг оси
фигуры, ограниченной параболой
и осью
(рис. 5).
Решение:
Парабола
расположена ветвями вниз, вершина
находится в точке
,
и ось
пересекает в точках
.
Для решения воспользуемся формулой
(3а), табл.
(куб. ед.).
Рис. 5
Пример
54. Вычислить
объем тела, образованного вращением
гиперболы
,
отсеченной прямыми
,
вокруг оси
(рис. 6).
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.
; 
,
находим из уравнения параболы:
Рис.
6 
(куб. ед.).
Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак
(двойной факториал) означает произведение
целых чисел, начиная с
,
через одно с убыванием. Например,
(только нечетные множители).