- •I. Первообразная и неопределенный интеграл
- •II. Методы интегрирования
- •2.1. Непосредственное интегрирование
- •2.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •2.3. Метод интегрирования по частям
- •III. Интегрирование рациональных дробей
- •3.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •3.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •3.3. Разложение правильной дроби
- •3.4. Нахождение коэффициентов
- •3.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •IV. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •V. Интегрирование тригонометрических выражений
- •VI. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •VII. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
2.3. Метод интегрирования по частям
(6)
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например, или , или .
– это все подынтегральное выражение, часть которого мы обозначаем за , а часть за . При этом:
-
за принимается функция, которая дифференцированием упрощается.
-
за – та часть, интеграл от которой известен или легко может быть взят.
-
в состав обязательно входит .
В итоге верного выбора и интеграл в (6) должен быть проще исходного.
Пример 15.
.
Замечание 1. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз.
Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла , , если
, то получаем уравнение: , откуда
или .
Пример 16. – решить методом по частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:
.
Только по частям берутся интегралы:
а) , многочлен -ой степени,
, в частности одночлен
, ,
б) ,
,
, ,
в) ,
, или .
Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.
Пример 16.
.
Рассмотрим отдельные классы функций и способы их интегрирования.
III. Интегрирование рациональных дробей
3.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
1. , 2. , 3. , при ,
4. , при (, , , , , ).
При интегрировании дробей типа 1 – 2 достаточно ввести подстановку , (или ), тогда
-
;
-
, ().
Чтобы проинтегрировать дроби типа 3 – 4, необходимо выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, затем свести интеграл к табличному.
Пример 17.
Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена
=
.
(табл. интегр., 11)
Замечание. При интегрировании дробей типа 3 – 4 можно воспользоваться справочником.
3.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
Определение: Дробь называется рациональной, где , – многочлены -ой и -ой степеней.
Если , дробь неправильная.
Если , дробь правильная.
Неправильную дробь представляют в виде суммы целой части и правильной дроби. Операция выделения целой части может быть выполнена делением числителя на знаменатель.
Пример 18. Дробь неправильная (, , ). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.
.
Пример 19. Дробь правильная, т. к. , , .
Пример 20. Дробь неправильная (, , ).
.
3.3. Разложение правильной дроби
Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.
Пусть дробь правильная. Разложим знаменатель дроби на множители. Найдем его корни, т. е. значения , при которых знаменатель обращается в нуль. Тогда многочлен разложится на множители:
, где
– действительные корни многочлена. Множитель не разложим на линейные множители, т. к. .
Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая дробь соответствует:
, если .
,
если .
– пока неизвестные коэффициенты.
Разложить на простейшие дроби.
Пример 21. .
Пример 22.
– не имеет действительных корней, т. к. .
Пример 23.
.
Пример 24.
,
– не имеет действительных корней, т. к. .