- •1 Выполнение курсовой работы
- •1.1 Решение систем линейных уравнений
- •1.1.1 Общие положения
- •1.1.2. Метод исключения (метод Гаусса)
- •Компактная схема Гаусса (схема Холецкого)
- •1.1.4. Метод Гаусса – Жордана
- •1.1.5. Метод простой итерации
- •1.1.7 Полученные решения
- •Интерполирование функций
- •Общие положения
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •1.2.3 Сплайн-интерполяция
- •1.2.4 Полученные решения
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •1.3.1 Общие положения
- •1.3.2. Модификации метода Эйлера
- •1.4.2 Полученные решения
- •1.5 Многомерная оптимизация
- •Общие сведения
- •1.5.2 Полученные решения
- •2 Исходные тексты
1.1.4. Метод Гаусса – Жордана
Метод исключает обратный ход при решении системы методом Гаусса. Первый шаг исключения совершают обычным методом Гаусса, т.е. при умножают первое уравнение системы (4.4) на множители , , и вычитают из каждого -го уравнения. В результате получают систему
(4.16)
На втором шаге исключаютиз всех уравнений системы (4.16) кроме второго (в т.ч. и из первого уравнения). Для этого умножают второе уравнение системы (4.16) на множители, , , и вычитают из каждого -го уравнения системы. Получают систему уравнений
В итоге система (4.4) приводится к диагональному виду
,
откуда каждое значение находят путем только одного деления.
1.1.5. Метод простой итерации
Пусть дана линейная система, которую можно записать в виде матричного уравнения. И пусть диагональные коэффициенты системы .
Систему записывают в матричной форме
и решают методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимают столбец свободных членов .
Любое -е приближение вычисляют как
.
Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел – решение системы.
Достаточные условия сходимости процесса итераций. Для системы
процесс итерации сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения, если выполнены неравенства
,
т.е., если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше модулей всех остальных коэффициентов (без учета свободных членов).
1.1.6. Итерационный метод Зейделя
Рассматривается линейная система из трех уравнений с тремя неизвестными
.
Пусть , тогда по аналогии с методом простой итерации система может быть записана в виде
.
Используя первое приближение к решению системы
,
вычисляют новое значение :
.
Далее вычисляют новое значение :
.
Используя вычисленные значенияи, находят новое значение :
.
На этом заканчивается первая итерация.
Далее заменяют исходные значения на и вычисляют следующее приближение. В общем случае -е приближение определяется формулами:
.
Правило останова вычислений задают следующим образом:
1) по максимальным значениям абсолютных разностей
,
где – некоторое положительное число;
2) по максимальным значениям относительных разностей
при условии, что .
1.1.7 Полученные решения
ans =
Решение методом Гаусса:
gx =
-2.8981 -0.6836 4.1805 -0.9516
ans =
Погрешности:
ex =
[ .894884283678676721330088449852e-1, .41886419936425345883273508117116, -.3474691003020480824058774293738, -.17941010364581560941716176631249]
ans =
Решение методом Холецкого:
xh =
-2.8981 -0.6836 4.1805 -0.9516
ans =
Погрешности:
ex =
[ .894884283678685603114285451104e-1, .41886419936425579030108679399989, -.3474691003020507469411365297495, -.17941010364581649759558146643773]
ans =
Решение методом Гаусcа-Жордана:
xgj =
-2.8981 -0.6836 4.1805 -0.9516
ans =
Погрешности:
ex =
[ .894884283678676721330088449852e-1, .41886419936425301474352523110854, -.3474691003020480824058774293738, -.17941010364581649759558146643773]