59.Знакоопределённые квадратичные формы.

Опред:число полож и число отриц коэф в норм виде дейст квад форм наз полож индексом инерции этой квад формы, а число отриц коэф её отриц индексом инерции.

Опред: Дейст квад форма f(х₁,х₂…х_n) наз полож опред, если для всех n действ чисел а₁,а₂…а_n из которых хотябы одного отлич от 0, имеет место нерав-во f(а₁,а₂…а_n)>0

Дейст квад форма f(х₁,х₂…х_n) наз отриц-но опред, если для люб n дейст чисел а₁,а₂…а_n, из кот хотя бы одно отлично от 0, имеет место нер-во f(а₁,а₂…а_n)<0.

Положит и отриц опред квад формы наз знакоопред.

Лемма1:Если к перем полож опред квад формы прим невырож лин преобраз, то получ квад форма также явл полож опред.

Док:Применим к перем х₁,х₂…х_n полож опред квад формы f(х₁,х₂…х_n)невырож лин преобраз по формулам (***)

x₁=a₁₁y₁+a₁₂y₁₂+…+a_1ny_n

x₂=a₂₁y₁+a₂₂y₂+…+a_2ny_n

…

X_n=a_n1y₁+a_n2y₂+…+a_nny_n

Вводя переменные y₁,y₂…y_n в исход квад форму получим f(х₁,х₂…х_n)=g(y₁,y₂…y_n). Предположим, что квад форма g не явл полож опред, тогда найдеься набор чисел у₁⁰,y₂⁰…y_n⁰, не все из кот равны 0, и для кот g(у₁⁰,y₂⁰…y_n⁰)<=0. Подставляя числа y_i⁰ в (***) получим n дейст чисел x₁⁰,x₂⁰…x_n⁰.Возмож два случая:

1)все числа x_i⁰=0 => числа у₁⁰,y₂⁰…y_n⁰ явл решением однородной системы

a₁₁y₁+a₁₂y₁₂+…+a_1ny_n=0

a₂₁y₁+a₂₂y₂+…+a_2ny_n=0

…

a_n1y₁+a_n2y₂+…+a_nny_n=0

С мат А=(a_ij), det A≠0 в силу невырож преобраз. => Эта система имеет! Нулевое решение у₁⁰=y₂⁰=…=y_n⁰=0 пришли к противоречию

2)Среди чисел x_i⁰ есть ≠0, тогда f(x₁⁰,x₂⁰…x_n⁰)= g(у₁⁰,y₂⁰…y_n⁰<=0 =>f не явл полож опред квад формой. Противоречие. Анологично док след результат.

Лемма: Если к перем отриц опред квад формы примен невырож лин преобраз, то получ квад форма так же явл отриц опред.

На след 2-ух теоремах основ способы распознания характера опред дейст квад формы путем приведения ее к канонич виду.

Теорема: Для того, что бы дейст квад форма от n переменных была полож опред  полож индекс инерции этой квадрируемой формы был =4.

Док: 1)Необх: пусть f(x)- полож опред квад форма и пусть ее положи индекс инерции = k<4. Gj теореме сущ невырож лин преобраз перем х₁,х₂…х_n приводяцее квад форму f к норм виду g(y₁,y₂…y_n)=y₁²+y₂²+…+y_k²+ε_k+1y_k+1²+ε_ky_k², где ε_iЄ{-1,0}. По лемме квад форме g полож опред. Возьмем и дейст чисел у₁⁰=0, y₂⁰=0…y_k⁰=0, y_k+1⁰=1, y_k+2⁰=0… y_n⁰=0. При подстан этих чисел в квад форму мы подучим, что g(y₁,y₂…y_n)<=0 =>rdfl форма не явл полож опред. Получим противоречие =>k=n.

2)Дост. Пусть теперь полож индекс инерции квад формы f(х₁,х₂…х_n)=n. По теореме эта форма с помощью некот невырож лин преобраз перем Х^Т=АУ^Т приодится к норм виду g(y₁,y₂…y_n)=y₁²+y₂²+…+y_n². Очевидно форма g полож опред. Т.к. обратное лин преобраз переем У^Т=А^-1Х^Тявл невырож, то по лемме форма f явл полож опред.

Анологично док:

Теорема: Для того, что бы дейст квад форма от n переем была отриц оперд  отриц индекс инерции этой квад формы был =n.

Опред: Главными минорами ква мат

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

А=a₂₁ a₂₂ … a_2n

…

a_1n a_n2 … a_nn

наз миноры:

∆₁=/а₁₁/,

∆₂=а₁₁ а₁₂

а₂₁ а_{22 ,}

∆₃=a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a_33,

...

∆_т=a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

…

a_n1 a_n2 ... a_nn

Т.к. миноры располож в левом верхнем углу мат А.

Лемма: Знак опред мат дейст квад формы не меняется при применении к этой форме невырож или преобраз перем.

Следствие: Опред мат палож опред квад формы-полож число