53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных

Опред: Квадратичной формой от переменных х₁,х₂…х_n над полем Р (char P≠2) наз многочлен от этих переменных с коэфф из поля Р,каждое слогаемое которого 2-ой степению.

Кажд квадратич форма м/б записана в след симметричном виде:

(*) f(х₁,х₂…х_n)=a₁₁x₁²+a₁₂x₁x₂+…+a_1nx₁x_n+

+a₂₁x₂x₁+a₂₂x₂²+…+a_2nx₂x_n+

…

+a_n1x_nx₁+a_n2x_nx₂+…+a_nnx₂x_n²

Где коэфф удовлет услов a_ij=a_ji

Если в первоначальной записи квадр формы коэф при x_i x_j и x_j x_iразличны, то можно сложить их и, разделить сумму на 2, получить равные.

Опред: Мат А=(a_ij),составленная из коэффициентов квадратич формы f(х₁,х₂…х_n) записанной в симметричном виде (*), наз матрицей квадратной формы f(х₁,х₂…х_n).

Ранг матрицы А наз рангом квадратичной формы f(х₁,х₂…х_n).Из условия (*)=>матр квадр формы явл симметрической.

Квадратичную форму удобно записывать в матричной форме: для этого введем в расмотренние строку переменных Х=(х₁,х₂…х_n), тогда f(х₁,х₂…х_n) =ХАХ^Т , где А мат квадр формы f(х₁,х₂…х_n) .

Опред: Лин преобраз переем х₁,х₂…х_n над полем Р наз переход от них к переем у₁,у₂…у_n по формулам(**)

x₁=α₁₁y₁+α₁₂y₂+…+α_1ny_n

x₂=α₂₁y₁+α₂₂y₂+…+α_2ny_n

…

x_n=α_n1y₁+α_n2y₂+…+α_nny_n где α_ijЄР

Матрица А=(α_ij) наз матрицей данного лин преобраз.Лин преобраз перем с невырожденной матрицей наз невырожденным.

Если Х=(х₁,х₂…х_n), У=(у₁,у₂…у_n) то система равенств (**) в матричной форме принимает вид Х^Т=АУ^Т.

Если (**)-невырожденное лин преобраз переменных, то можно выразить переменные у₁,у₂…у_n через переем х₁,х₂…х_n: У^Т=А^-1Х^Т.Это лин преобраз переем у₁,у₂…у_n наз обрат преораз (**).

Под произв двух лин преобраз перем поним их последовательное выполнение. Матрица произв лин преобраз переем равна произведению матриц этих преобраз : если х_iу_i по мат А,у_iz_i c мат В,x_iz_i с мат АВ.

54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.

Опред:квад форма наз канонической, если она не содержит произведений различных переменных.Каноническим видом квадратичной f(х₁,х₂…х_n) наз любая какнонич квад форма g(у₁,у₂…у_n), в кот превращ форма f(х₁,х₂…х_n) в результате применения и входимым в нее перемен х₁,х₂…х_n невырож лин преобраз.

Теорема: для любых квад форм над полем Р можно с помощью некотор невырожд лин преобраз ее переем над полем Р привести к каноническому виду.

Док: можно выраз в примерах

1)Приведем квад форму f к виду с квадратами переменных : замена

x₁=y₁-y₂

x₂=y₁+y₂

x₃=y₃

C мат лин преобраз A₁= 1 -1 0

1 1 0

0 0 1

=>Квад форма f(у₁,у₂…у_n)=2y₁²-2y₂²-4y₁y₃-4y₂y₃=(2y₁²-4y₁y₃+2y₃²)-2y₃²-2y₂²-4y₂y₃=2(y₁-y₃)²-2y₃²-2y₂²-4y₂y₃

Сделаем еще одно лин преобраз перем:

z₁=y₁-y₃ y₁=z₁+z₃

z₂=y₂ =>или y₂=z₂

z₃=y₃ y₃=z₃

С мат лин преобраз: А₂=1 0 1

0 1 1

0 0 1

Получим квад формы f(z₁,z₂,z₃)=2z₁²-2z₃²-2z₂²-4z₂z₃=2z₁²-2(z₃²+2z₂z₃+z₂²)=2z₁²-2(z₂+z₃)²

Преобраз перем: t₁=z₁

t₂=z₂+z₃

t₃=z₃

или

z₁=t₁

z₂=t₂-t₃

z₃=t₃

C мат преобразования А₃=1 0 0

0 1 -1

0 0 1

Приводим квад форма к канонич виду

f(t₁,t₂,t₃)=2t₁²-2t₂²

Мат лин преобраз перемен будет мат

1 -1 0 1 0 1 1 0 0 1 -1 0 1 0 0 1 -1 1

А=А₁А₂А₃=1 1 0 0 1 1 0 1 -1 =1 1 2 0 1 -1=1 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Невырожденное лин преоб переем х₁,х₂,х₃ приводящее к канон виду, следующее:

x₁=t₁-t₂+t₃

x₂=t₁+t₂+t₃

x₃=t₃

Нетрудно проверить непосредственно, что при этом преобразт форма f(х₁,х₂,х₃) примет вид формы f(t₁,t₂,t₃).Такой метод наз методом Лагранжа.

Теорема: число ненулевых коэфф в канонич виде квад формы над полем Р не зависит от способа приведения квад формы к этому виду и равно рангу квад формы.

Док:Пусть А-мат квад формы f(х₁,х₂…х_n), Х=(х₁,х₂…х_n), тогда f(х₁,х₂…х_n)=ХАХ^Т.Из пред теоремы =>сущ невырожд лин преобраз переем х₁,х₂…х_n Х^Т=ТУ^Т,привод данную квад форму к канонич виду: g(х₁,х₂…х_n)=b₁y₁²+b₂y₂²+…+b_ny_n².Мат квад формы g имеет вид:

В=b₁

b₂ O

O _…

b_n

Ранг этой мат равен числу отличных от нуля диагональных элементов и равен числу ненулевых коэфф в квад форме g(y₁,y₂…y_n).

Рассмотрим f(х₁,х₂…х_n)=ХАХ^Т=(Х^Т)АХ^Т=(ТУ^Т)А(ТУ^Т)=У(Т^ТАТ)У^Т= g(y₁,y₂…y_n)=УВУ^Т. Отсюда В=Т^ТАТ. Т.к. Т невыраж мат, то А=(Т^Т)^-1ВТ^-1. Т.к. умнож мат на невыраж мат не меняет ее ранг, то rang B=rang((T^T)^-1ВТ^-1)=rangA. Эта теорема позволяет ввести след опред:

Опред:число ненулевых коэфф в канонич виде квад формы наз индексом инерции квад формы.