I закон коммутации

Ток в катушке индуктивности не может измениться скачком. Значение тока до коммутации равно значению тока, которое стало сразу после коммутации:

Если предположить скачок тока, то производная равна , значит , что не имеет физического смысла.

II закон коммутации

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Значение напряжения до коммутации равно значению, которое стало сразу после коммутации:

Если предположить скачок напряжения, то производная , равна , и , что не имеет физического смысла.

Расчёт переходных процессов классическим методом

Решение ищут в виде двух составляющих — принуждённой (вынужденной) и свободной:

Принуждённая составляющая — ток или напряжение, которые будут в цепи, когда переходной процесс закончится. Она существует под действием источника и рассчитывается обычными методами.

Свободная составляющая — ток или напряжение, которые существуют только во время переходного процесса. Она же зависит от источника и определяется только параметрами цепи. Чтобы её найти, надо составить дифференциальное уравнение цепи по II закону Кирхгофа для мгновенных значений для контура после коммутации.

26. Анализ процессов при включении последовательной rl-цепи на постоянное напряжение классическим методом

При замыкании ключа ток начинает увеличиваться, в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая по правилу Ленца старается уменьшить ток. Ток уменьшается постепенно по закону переходного процесса.

(1)

Из математики известно, что дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет решением экспоненту:

, где

A — постоянная интегрирования;

p — корень характеристического уравнения цепи.

Чтобы найти p, надо составить характеристическое уравнение цепи по правилу:

вместо функции ставят единицу, а вместо производной — букву p:

— постоянная цепи RL

Чтобы найти постоянную интегрирования A, применяем I закон коммутации:

Чтобы найти , надо в уравнение (1) подставить :

Решение:

— уравнение тока при включении цепи RL на постоянное напряжение

Практически переходной процесс заканчивается через время .

Вывод: чем больше постоянная времени, тем медленнее идёт переходной процесс.

Построим график :

Подставим в уравнение :

Физический смысл при включении цепи RL на постоянное напряжение:

— время, за которое ток достигает значения 0,63 от установившегося.

27. Анализ процессов при коротком замыкании последовательной rl-цепи классическим методом

В первом положении ключа по цепи течёт ток. Во 2 положении цепь закорачивается проводом, и ток начинает уменьшаться. В катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая по правилу Ленца поддерживает ток, и ток постепенно уменьшается по закону переходного процесса.

Получим уравнение, аналогичное предыдущему, поэтому и его решение аналогично:

, где

Чтобы найти A, надо применить I закон коммутации:

, тогда

— уравнение тока при коротком замыкании цепи RL

Подставим в уравнение :

Физический смысл при коротком замыкании цепи RL:

— время, за которое ток цепи уменьшается в 2,7 раза по сравнению с первоначальным.

28. Анализ процессов заряда конденсатора классическим методом

При замыкании ключа конденсатор заряжается до напряжения источника по закону переходного процесса.

(1)

Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого экспонента:

Чтобы найти p, составляем характеристическое уравнение цепи:

— постоянная времени цепи RC

Чтобы найти постоянную интегрирования A, применим II закон коммутации:

Чтобы найти , в уравнение (1) подставляем :

— уравнение напряжения на конденсаторе при его заряде

Подставим в уравнение :

Физический смысл времени при заряде конденсатора:

— время, за которое напряжение на конденсаторе достигает значения 0,63 от установившегося.