- •1. Системы цифровой обработки сигналов: общая структура, элементы и сигналы. Источники искажений (погрешностей) при цифровой обработке.
- •2. Системы цифровой обработки сигналов: основные свойства, классификация и характеристики. Математические модели и описания дискретных сигналов во временной и частотной области.
- •4. Дискретизация сигналов по времени и квантование сигналов по уровню. Ошибки квантования и дискретизации.
- •5. Искажения сигналов при цифро–аналоговом преобразовании и способы их уменьшения. Наложение спектров. Аналого-цифровое преобразование радиосигналов.
- •§ 3.7. Основные свойства z-преобразования
- •8) Обратное z-преобразование. Методы его вычесления.
- •10. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой: методы описания, характеристики, структуры.
- •11. Цифровой фильтр с обобщенной линейной фазой – методы описания, характеристики, структуры
- •12. Методы проектирования цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой.
- •Вопрос №13
- •14)Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой: методы математического описания во временной области, алгоритмы обработки и структуры.
- •Биквадратный бих-фильтр форма 2
- •15. Рекурсивные цифровые фильтры: методы математического описания и характеристики в частотной области.
- •16. Задача синтеза рекурсивных цифровых фильтров. Синтез рекурсивных цифровых фильтров по аналоговому прототипу. Билинейное преобразование.
- •18. Алгоритм цифровой фильтрации на основе дпф.
- •Вопрос 19.Методы вычисления дпф. Бпф с прореживанием по времени.
- •Вопрос 20.Методы вычисления дпф. Бпф с прореживанием по частоте. Бит реверсивный порядок.
- •21. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье и их применения.
- •22. Дискретное косинусное преобразование.
- •23. Линейная стационарная дискретная система: определение, свойства, примеры.
- •24. Всепропускающие системы, обратные системы. Ограничения, накладываемые на всепропускающие и обратные системы.
- •25. Минимально-фазовые системы и их преимущества. Требования к системной функции Минимально-фазовых систем
- •26.Использование дпф для обработки конечной последовательности отсчетов. Алгоритм обработки.
- •27. Эффекты квантования в цифровых фильтрах, шумы квантования
- •Системы цос с понижением частоты дискретизации.
- •29. Системы цос с повышением частоты дискретизации.
- •Содержание
§ 3.7. Основные свойства z-преобразования
Для z-преобразования справедливы некоторые теоремы, аналогичные теоремам о спектрах непрерывных сигналов. Главная из них — теорема о свертке.
Теорема о свертке. В теории непрерывных сигналов эта теорема формулируется следующим образом. Пусть заданы два непрерывных сигнала x(t) и y(t) и их свертка
Тогда спектральная плотность свертки связана со спектральными плотностями и сигналов x(t) и y(t) соотношением (3.23)
Для дискретных сигналов xk = x(kT) и yk = y(kT] по аналогии с непрерывными сигналами вводится дискретная свертка, которая определяется выражением
(3.24)
или
(3.25)
Запишем для дискретных сигналов , и их z-преобразования
Применим z-преобразование к формуле свертки (3.25)
Преобразуем правую часть этого выражения так, чтобы получить произведение z-преобразований. Для этого нужно, в частности, чтобы xk умножалось на , а на . Сгруппируем соответствующим образом степени z
\
При k> n , поэтому можно во второй сумме верхний предел суммирования сделать равным ∞. Далее обозначим п — k = т и получим
Нижний предел m=— k можно заменить на m = 0 так как при m<0 все ym = 0. В результате получим
т.е.
(3.26)
Выражение (3.26) аналогично формуле (3.23), описывающей теорему о свертке для обычных непрерывных сигналов.
В качестве примера рассмотрим дискретную свертку двух простых сигналов: x(kT), имеющего два ненулевых отсчета [x(0)=1 и х(Т) =1] (рис. 3.10, а) и y(kT), состоящего из трех отсчетов [у(0) = 2; у(Т) = 2; у(2Т) = 2] (рис. 3.10,6). Непосредственный подсчет по формуле (3.24) приводит к следующему результату:
f()
Сигнал f(nT), являющийся сверткой x(kT) и y(kT), изображен на рис. 3.10
7) Z- преобразование дискретных последовательностей. Область сходимости Z-преобразования. Связь z-преобразования и преобразования Фурье последовательности.
z-преобразование: (1) . Представим z в полярных координатах: то (1) можно представить как:
При , т.е. при , z-преобразование равно преобразованию Фурье последовательности.
Значение z при которых X(z)=0 называются нулями. Те точки, где X(z)=∞ называются полюсами.
Множество тех значений z, при которых ряд сходится, называется областью сходимости. Достаточное условие сходимости: ,т.е. область сходимости-кольцо. Если единичная окружность не входит в ОС, то Фурье образ последовательности не является абсолютно сходящимся рядом.
Свойства ОС:
1.ОС-это кольцо на комплексной плоскости с центром в нуле.
2.Преобразование Фурье сходится абсолютно только тогда, кода ОС z-преобразования содержит единичную окружность.
3.ОС не может содержать ни одного полюса.
4. ОС z-преобразования сигнала ограниченной длительности: вся комплексная плоскость, за исключением возможно z=0 и z=∞(т.к. они возможно полюсы)
5. Ос должна быть связной.
Найдем z-преобразования сигналов x(kT), y(kT) и f(nT):
Перемножая выражения для X(z) и Y(z), нетрудно убедиться в справедливости выражения (3.26).
Теорема о запаздывании.
Сдвинем дискретный сигнал х(пТ) по времени на величину периода повторения Т. Получившийся новый сигнал у(пТ) (рис. 3.11) связан с х(пТ) простым соотношением
Пусть известно z-преобразование сигнала x(nT):
Найдем z-преобразование сигнала у(пТ):
Таким образом, запаздывание дискретного сигнала на один элемент cоответствует умножению z-преобразования на
Теорема Парсеваля для дискретных сигналов. Как известно, энергия непрерывного сигнала может быть вычислена посредством интегрирования в бесконечных пределах или квадрата временной функции, или квадрата ее спектра. Аналитически это записывают в виде теоремы Парсеваля:
Аналогичное соотношение можно получить для дискретных сигналов.
Пусть дискретный сигнал f(kТ) представляет собой убывающую последовательность, так что все полюсы его z-преобразования F(z) находятся внутри единичной окружности в плоскости z. Для вывода теоремы Парсеваля умножим F(z) на F(l/z) и найдем величину этого произведения:
(3.27)
Умножим обе части равенства (3.27) и и проинтегрируем по замкнутому контуру L, который должен располагаться в области сходимости как F(z), так и F(l/z). Поскольку последовательность f(kT) является убывающей, в качестве контура интегрирования L можно принять окружность | z | = 1. При интегрировании двойной суммы в правой части равенства (3.27) все члены окажутся равными нулю, кроме членов, соответствующих k = п. В результате получим
(3.28)
Выражение (3.28) является записью теоремы Парсеваля для дискретных сигналов.