- •5.1. Классический способ определения величины парового потока
- •5.2. Наглядно-смысловой способ определения величины парового потока
- •5.3. Составление блок-схемы модели самовара
- •6. Моделирование процессов, описываемых в частных производных
- •6.1 Физический смысл уравнения теплопроводности
- •6.2. Численные методы
- •6.3. Метод прогонки
- •6.4. Комбинированный метод решения смешанной краевой задачи
- •7. Моделирование случайных воздействий
- •7.1. Моделирование дискретных случайных величин
6.2. Численные методы
Задачи для нелинейных уравнений или даже линейные задачи, но в областях сложной формы редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди них чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории.
Для применения разностного метода в области изменения переменных G (r, t) вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение, и краевые условия заменяют разностями (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции u(r, t) в узлах сетки. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой. Решая полученную алгебраическую систему, найдем приближенное (разностное) решение в узлах сетки.
Пример. Составим простейшие разностные схемы для одномерной задачи линейной теплопроводности на ограниченном отрезке:
, 0 x a, 0 t T, (6.6)
u(x, 0)=(x) – начальное условие, (6.6,а)
u(0, t)= – краевое условие,
u(a, t)= – внутренние источники тепла.
Решение ищется в области .
Введем в G прямоугольную сетку (для простоты равномерную), образованную пересечением линий xп = nh, 0 п N, и tm = m, 0 m M; величины h, являются шагами сетки по переменным x, t. Значения функции в узлах сетки будем обозначать .
Заменим в уравнении (6.6) производную ut разностным отношением . Производную также можно заменить разностным отношением. Но здесь возможны разные варианты, которые приводят к явной и неявной схемам решения задачи. К явной схеме решения задачи приводит аппроксимация производной уравнением вида ,а к неявной уравнением . При явной схеме уравнение (6.6) принимает вид
. (6.7)
Это послойный алгоритм вычислений. В этой схеме на исходном m = 0 слое решение известно в силу начального условия (6.6, а). Каждое последующее значение на m+1 слое определится из уравнения (6.7) по известным значениям переменной на предыдущем слое.
. (6.8)
При неявной схеме уравнение (6.6) принимает вид
, 1 n N-1. (6.9)
Число уравнений (6.9) меньше числа неизвестных , 0 n N; недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных условий (6.6, а):
, 0 n N, , .
Уравнение (6.9) неявной схемы содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными. Для вычисления переменных перепишем систему (6.9) с учетом краевых условий по следующей форме:
, 1 n N-1, (6.10)
, .
На каждом слое система (6.10) представляет собой систему линейных уравнений для определения величин , правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя. Матрица линейной системы трехдиагональна, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой.