- •5.1. Классический способ определения величины парового потока
- •5.2. Наглядно-смысловой способ определения величины парового потока
- •5.3. Составление блок-схемы модели самовара
- •6. Моделирование процессов, описываемых в частных производных
- •6.1 Физический смысл уравнения теплопроводности
- •6.2. Численные методы
- •6.3. Метод прогонки
- •6.4. Комбинированный метод решения смешанной краевой задачи
- •7. Моделирование случайных воздействий
- •7.1. Моделирование дискретных случайных величин
V2
Рвн
V1
1
0,2
20 100 Т С
Рис 5.1. Физическая модель
самовара
Рис.5.2 График зависимости парциального давления насыщенного водяного пара от температуры
Составим уравнение теплового баланса:
, (5.1)
где qвх – мощность нагревателя.
Количество тепла, необходимое для нагрева воды массой Мв с удельной теплоемкостью Cв на T - T0 С,
, (5.2)
где qвых – тепловой поток, затраченный на испарение воды;
qвых = rgп,
где r = 550 ккал/кг - удельная теплота парообразования.
gп – весовой расход паров воды.
Рассмотрим два подхода классический и наглядно-смысловой к определению gп.
5.1. Классический способ определения величины парового потока
Весовой расход паро-воздушной смеси, выводимой из самовара через сужающее устройство (дырочку в крышке) найдем по формуле [4]:
, (5.3)
где Pвн – давление в аппарате;
Ра – атмосферное давление;
kv – коэффициент, определяемый видом сужающего устройства (считается известным).
Расход пара, выводимого из аппарата, прямо пропорционален концентрации пара в смеси, а следовательно, отношению парциального давления паров воды к общему давлению в аппарате P.
. (5.4)
Таким образом, для определения нам необходимо знать общее давление в аппарате и парциальное давление паров воды, которые нам не известны. Значения этих параметров можно найти из условия материального баланса:
(5.5)
(5.6)
где , – масса паров воды и воздуха в аппарате, соответственно,
– весовой расход воды из аппарата.
(5.7)
– паровой поток с поверхности воды.
ky – коэффициент массопередачи; [8];
S – площадь поверхности воды;
– парциальное давление насыщенного пара.
Проинтегрировать (численно) уравнение (4.6) не представляет проблем, а об интегрировании уравнения (4.5) следует поговорить особо.
Если в уравнение (4.5) подставить из (4.7), а массу выразить из уравнения состояния газа , где – число молей в аппарате, N – число Авогадро, то получим дифференциальное уравнение для расчёта которое, в принципе, нетрудно проинтегрировать.
. (5.8)
Но следует принять во внимание, что ky настолько велико, что постоянная времени данного уравнения на два порядка меньше постоянной времени в дифференциальном уравнении теплового баланса. Действительно, известно, что влажность воздуха в чайнике близка к насыщению. Поэтому, если численно интегрировать уравнение (4.5), то шаг интегрирования придется взять от постоянной времени уравнения (4.5), а это означает, что время счета модели возрастет более чем на два порядка по сравнению с вариантом, при котором находится, как решение уравнения для установившегося режима при заданной скорости изменения . То есть на каждом шаге интегрирования считается . Рассмотренный подход к решению уравнения вполне корректен, хотя трудоёмкость его достаточно велика, а точность во многом зависит от точности коэффициента , значение которого точно определить трудно, так как массопередача зависит не только от свойств продуктов, но и от аппаратурного оформления. Поэтому ниже прилагается способ, основанный на понимании сущности процесса, а не на формальном его описании.
5.2. Наглядно-смысловой способ определения величины парового потока
В разделе 4.1 было показано, что парциальное давление пара в аппарате примерно равно давлению насыщенного пара . Из уравнения состояния газа видно, что давление пара прямо пропорционально количеству молей его в единице объёма,
. (5.9)
Так как общее давление в аппарате определяет общее количество молей в единице объёма, то это можно интерпретировать следующим образом: давление пара определяет долю объёма, занимаемую в .
Действительно, чем больше , тем больше молей паров в единице объёма, а это можно трактовать и так, что больше доля, занимаемая молекулами пара, в парогазовой смеси. Из сказанного следует, что объём, занимаемый парами воды, прямо пропорционален .
. (5.10)
Так как , то скорость вытеснения парогазовой смеси из аппарата пропорциональна скорости изменения . А это легко найти из известной зависимости давления насыщенного пара от давления (рис 5.2) и скорости изменения температуры (5.1, 5.2). Действительно, аппроксимировав зависимость от температуры Т полиномом, получим дифференцируемую функцию . Использовав эту функцию, получим выражение для объёмного расхода вытесненного пара:
. (5.11)
Используя (5.10), получим
. (5.12)
Так как объемный расход парогазовой смеси равен объёмному расходу вытеснившего его пара , то .
Зная объёмные расходы пара и воздуха, можно найти весовые расходы каждого из этих компонентов, так как зависимость плотности насыщенного пара от температуры задаётся в справочниках, а плотность воздуха в аппарате можно найти, зная парциальные давления пара и воздуха в аппарате:
, (5.13)
где мольные массы воздуха и паров воды соответственно.
Формула (5.13) получена из уравнений состояния газа для пара и воздуха, в которых количество молей выражено через массы каждого из компонентов .