- •1.1 Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •1.2 Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда
- •1.3. Функциональные ряды
- •1.4. Ряды Тейлора
- •1.5. Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям
- •1.6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами
- •1.7. Ряды Фурье
- •1.8. Интеграл Фурье
1.7. Ряды Фурье
Функциональный ряд вида
(1)
где— постоянные, называется тригонометрическим рядом.
Все члены тригонометрического ряда — синусы и косинусы углов, кратных и их сумма S (х), если она существует, являются
периодическими функциями от с периодом . Поэтому тригонометрические ряды широко применяются для изучения различных периодических процессов в электротехнике, радиотехнике, в теории упругих механических колебаний и во многих других областях естествознания и техники.
Разложение данной функции в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом, ибо этим достигается разложение какого-либо сложного периодического явления на простые гармонические колебания.
Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд вида (1), если его коэффициенты и вычислены по формулам Фурье:
(2)
I
Простейшие достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье сформулированы в следующей теореме Дирихле.
Если в интервале функция имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т. е. имеет сумму во всех точках этого интервала. При этом:
а) в точках непрерывности функции он сходится к самой функции,
б) в каждой точке разрыва функции — к полусумме односторонних пределов функции слева и справа,
в) в обеих граничных точках интервала— к полусумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим точкам изнутри интервала,
Для четной функции все коэффициенты и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов
(3)
Для нечетной функции все коэффициенты и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы
(4)
Если функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является периодической, то на всей числовой оси ее ряд Фурье в точках непрерывности функции сходится к самой функции, а в каждой точке разрыва функции — к полусумме ее односторонних пределов.
Функцию, заданную в интервале можно произвольно продолжить в соседний интервал и поэтому ее можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим, такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье, содержащим только косинусы или только синусы.
Ряд по косинусам получается при четном, а ряд по синусам при нечетном продолжении данной функции на соседний слева интервал В первом случае график данной функции продолжается на интервал симметрично относительно оси ординат, а во втором случае — симметрично относительно начала координат.
С помощью формул Эйлера получается удобная во многих случаях комплексная форма ряда Фурье:
где (5)
Если функция задана несколькими различными формулами на разных частях интервала , то при разложении ее в ряд Фурье, при вычислении интегралов в формулах (2) или (5) для коэффициентов ряда, следует разбить интервал интегрирования точками, в которых меняется аналитическое выражение функции, на части и затем вычислять указанные интегралы как сумму интегралов по составляющим частям.
При разложении функции в ряд Фурье в интервале пределы интегралов в формулах (2) или (5) будут и, а в случае произвольного интервала длины эти пределы будут и
Пример 1. Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном интервале:
1)
2)
3)
4) Пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда
Решение. Вначале проверяем, что данная функция в указанном интервале удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты и (или) по формулам Фурье и, подставляя их в ряд (1) или (5)1, получаем искомое разложение данной функции в ряд Фурье; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких значениях полученный ряд сходится к данной функции.
1) Данная функция не четная и не нечетная, поэтому вычисляем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (2), полагая и беря пределами интегралов 0 и, поскольку функция задана в интервале (0,):
(Для вычисления интеграла применена формула интегрирования по частям.)
При при полученное здесь выражение для не имеет смысла. Поэтому коэффициент вычисляем отдельно по формуле (2), полагая
Подставляя значения коэффициентов и в тригонометрический ряд (1), получим искомое разложение данной функции в ряд Фурье:
Это разложение справедливо, т. е. полученный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области определения
(В граничных точках и сумма ряда равна — в этих точках все члены ряда, кроме первого, обращаются в нуль. То же значение имеет сумма ряда в указанных точках и по теореме Дирихле.)
2) Пользуясь формулами (2), полагая и разбивая интервал интегрирования (0; 4) точкой на две части, поскольку в каждой из них функция задана различными формулами, получим:
При четном и ; при нечетном
и
При по формуле (2) получим:
;
Искомое разложение данной функции имеет вид
Оно справедливо во всей области определения данной функции: в интервале (0; 2) сумма рядаа в интервале (2; 4). В точке разрыва, где функция не определена,
,
-
Здесь удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (5):
По формулам Эйлера
Следовательно,
В интервале ряд представляет функцию а в точках его сумма равна
Чтобы преобразовать полученный ряд в комплексной форме к обычной тригонометрической форме ряда Фурье (если это нужно), следует объединить слагаемые с индексами и и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:
Из равенства, полагая , вычисляем
Следовательно,
-
Данная функция четная (черт. 202), вследствие чего все коэффициенты . В интервале функция определяется формуллой . Поэтому по формуле (3), при , получим:
Если четное, , то и
Если нечетное, , то
При полученное здесь общее выражение для не пригодно, вследствие чего коэффициент вычисляем отдельно, полагая, в формуле (2):
Подставив значения коэффициентов в ряд (1), получим искомое разложение
которое справедливо во всей области определения данной функции
·
При полученное разложение преобразуется в равенство
откуда и определяется сумма числового ряда, указанного в условии:
Здесь, как и в решении задач 1040 (1, 2), оказалось, что для данной функции один из коэффициентов ряда нельзя было вычислить по найденному его общему выражению. Поэтому при разложении данной функции в ряд Фурье, после нахождения общих выражений для коэффициентов ап и Ьп, следует проверять, будут ли они пригод- Ц( г 202
ны при всех [указанных в форму- ч'г"
лах (2)] значениях п. Для тех значений п, при которых эти общие выражения теряют смысл, необходимо вычислять соответствующие коэффициенты отдельно, подставляя эти исключительные значения п в общие формулы Фурье.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодические функции:
1) при
Пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда:
а) б)
2) при
3) при
Решение. Все заданные функции удовлетворяют условиям теоремы Дирихле, что обеспечивает возможность их разложения в ряд Фурье.
1) Данная функция четная, ее график (черт. 203) симметричен относительно оси. Все коэффициенты а коэффициенты вычисляются по формулам (3), при
(Здесь дважды применена с}юрмула интегрирования по частям.) При (и) по формуле (3) найдем:
Следовательно,
Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом значении, т. е. полученный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси. Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью совпадают.
Полагая в полученном разложении найдем сумму указанного в условии числового ряда (а):
а полагая найдем сумму ряда (б):
-
Вычисляем коэффициенты Фурье данной функции по общим формулам (2), полагая (период этой функции равен, черт. 204):
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (1), получим
.
Разложение справедливо во всей области определения данной периодической функции — на всей числовой оси, исключая точки, в которых функция разрывна (не определена). В точках разрыва функции полученный ряд также сходится. Согласно теореме Дирихле, в этих точках его сумма равна. У графика данной функции нет точек с абсциссами; график суммы ряда отличается от графика данной функции наличием точек .
3) Функция и нечетная. Поэтому коэффициенты , а вычисляем по формуле (4):
Следовательно,
Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности — при всех значениях, кроме значений, которые являются точками разрыва функции. В точках по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна нулю. Это же очевидно потому, что в этих точках все члены ряда обращаются в нуль. Графики суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсциссами . У графика данной функции ординаты этих точек равны –1, а у графика суммы ряда они равны 0.
Пример 3. Разложить данную функцию в указанном интервале в неполные ряды Фурье, содержащие только косинусы или только синусы.
-
-
в интервале от 0 до π. Пользуясь полученным разложением ряда .
Решение. 1) а. Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжаем ее на соседний слева интервал (— 1; 0] четным образом.
Тогда , а по формуле (3), подставляя, в интервале (0; 0,5) и в интервале (0,5; 1), найдем
Если n четное, то .
Если n нечетное, , то
При по формуле (3) найдем
Следовательно, искомое разложение данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы, таково:
Оно справедливо во всей области определения данной функции. В интервале (0; 1) график суммы полученного ряда отличается от графика данной функции наличием точки (0,5; 0).
б. Для разложения данной функции в ряд Фурье, содержащий только синусы, продолжаем ее на соседний слева интервал (— 1; 0] нечетным образом .
Тогда , а по формуле (4)
Если n нечетное, то .
Если n четное, , то
При четном k получим , при нечетном ,
, ,
Искомое разложение данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы, имеет вид:
.
Оно справедливо во всей области определения функции .
2) а. Продолжив данную функцию четным образом, имеем: ,
Если n четное , то и
.
Если n нечетное, то и .
Коэффициент вычислим отдельно, полагая в формуле (3):
Таким образом, получаем следующее разложение данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы
Подставляя в полученное разложение, имеем:
, откуда следует
б. Продолжив данную функцию нечетным образом имеем ,
Коэффициент вычисляем отдельно:
.
Следовательно,