- •Аксиомы теории вероятностей
- •Неравенство Чебышева.
- •Случайные события.
- •Теорема Чебышева.
- •Классическая Вероятностная модель.
- •Теорема Бернулли
- •Теорема сложения вероятностей
- •Нормальное распределение.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Функция распределения с.В.
- •Условная вероятность
- •Плотность распределения с.В.
- •Формула полной вероятности
- •Коэффициент корреляции
- •Формула Байеса
- •Статистические оценки и их свойства
- •Формула Бернулли
Билет № 1
-
Аксиомы теории вероятностей
При аксиоматическом подходе к изложению теории вероятностей за основу берется некоторое множество , элементы которого называются элементарными событиями, а само - пространством элементарных событий.
Зафиксируем некоторую непустую систему S, состоящую из подмножества А, В, ... пространства элементарных событий. Подмножества А, В,... назовем событиями.
Относительно структуры системы S предположим выполненными следующие две аксиомы событий:
I. Если множества ( в конечном или счетном числе) являются событиями, то их объединение тоже является событием.
II. Если множество является событием, то его дополнение до множества тоже является событием.
Система S, удовлетворяющая аксиомам I и II, называется борелевским полем событий.
Из аксиом I и II вытекает, что и если (i = 1, 2, …), то .
В дальнейшем операцию объединения событий будем называть сложением и обозначать знаком «+», операцию пересечения – умножением и обозначать знаком «-», а операцию <#40#>дополнения – переходом к противоположному событию<#41#> и выделять чертой сверху (например, ). Кроме того, событие назовем достоверным и обозначим U, - невозможным и обозначим V.
В новых обозначениях аксиомы I и II запишутся:
I.
II. . События A и B назовем несовместными, если АВ = V (т.е. ).
Аксиомы вероятностей:
1. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью события A..
2. Если события попарно несовместны, то (аксиома счетной аддитивности).
3. .
Совокупность трех объектов , в которой S удовлетворяет аксиомам I и II, а функция – аксиомам 1, 2, 3, назовем вероятностной схемой.
Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).
Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.
Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)
.
События А1,А2,...,Ак образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е. .
События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АВ=. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Неравенство Чебышева.
Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.
Билет № 2
Случайные события.
Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).