Доказательство Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции итолько в правой проколотой полуокрестности точки, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть. Возьмём некоторыйиз рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезкутеорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремленииксправа, это отношение можно записать как, где— O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезкаи применим теорему Коши ко всемиз отрезка:

, что можно привести к следующему виду: .

Для , достаточно близких к, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так каки— константы, аистремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен, где— бесконечно малая функция при стремленииксправа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение, что и в определении для:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и. По любому данномуможно найти такое, чтобы модуль разности отношения функций ибыл меньше, значит, предел отношения функций действительно равен.

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать; первый множитель правой части будет больше 1/2 при, достаточно близких к, а тогда

.

7. Производные высших порядков. Механический смысл производной 2-го порядка.

Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точкесвоей области определения, то ее производнаяесть функция от. Функция, в свою очередь, может иметь производную, которую называютпроизводной второго порядка функции (иливторой производной) и обозначают символом . Таким образом

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

7. Производные высших порядков. Формула Тейлора.

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

Формула Тейлора

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

7. Экстремум функции. Необходимое условие.

Понятие экстремума функции

Определение

Точка называетсяточкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство:.

Точка называетсяточкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всехиз этой окрестности.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка называется точкойстрогого локального максимума функции , если для всехиз окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство.

Точка называется точкойстрогого локального минимума функции , если для всехиз окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.