- •1. Функции. Основные определения и свойства. Способы задания. Классификация.
- •Способы задания функции
- •1)Аналитический способ
- •2)Табличный способ
- •3)Графический способ
- •2. Предел функции точке. Односторонние пределы.
- •Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция
- •Сравнение бесконечно малых Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величиныи(либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
- •Раскрытие неопределенностей
- •Непрерывность функции на промежутке
- •Точка разрыва первого рода
- •Точка разрыва второго рода
- •Свойства функций непрерывных на отрезке:
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Формула
- •Доказательство
- •Доказательство Отношение бесконечно малых
- •Отношение бесконечно больших Докажем теорему для неопределённостей вида .
- •Производные высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Понятие экстремума функции
- •Необходимое условие экстремума
- •Понятие экстремума функции
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Виды асимптот
- •Производная степенно-показательной функции
Производная степенно-показательной функции
Определение
Степенно-показательной функцией (или показательно-степенной, илифункцией в степени функция) называется функция вида
Рассмотрим способы нахождения ее производной.
1-ый способ
Применяя формулу:
То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.
Замечание
Порядок следования слагаемых неважен: можно вначале взять производную от показательной функции, а затем как от степенной, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется:
2-ой способ
С помощью логарифмического дифференцирования:
3-ий способ
Представим функцию в следующем виде (используютсясвойства логарифмов):
Тогда
Дифференцирование неявной функции одной и двух переменных.
Если независимая переменная и функциясвязаны уравнением вида, которое не разрешено относительно, то функцияназываетсянеявной функцией переменной .
Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде. Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно, оказывается возможным найти производную отпо. В этом случае необходимопродифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от, а затем из полученного уравнения найти производную.
Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
Экстремум функции 2-х переменных. Необходимое условие. Достаточное условие.
Градиент скалярного поля. Свойства. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Производная по направлению и ее физический смысл. Формула для вычисления.