Сравнение бесконечно малых Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величиныи(либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если , то— бесконечно малаявысшего порядка малости, чем . Обозначаютили β≺α.

• Если , то— бесконечно малаянизшего порядка малости, чем . Соответственноили α≺β.

• Если (предел конечен и не равен 0), тоиявляются бесконечно малыми величинамиодного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и. Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

• Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величинаимеет-й порядок малости относительно бесконечно малой .

7. Неопределенности. Способы ракрытия неопределенности [0/0]. \

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;

2. замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;

3. правило Лопиталя;

4. эквивалентные бесконечно малые функции.

7. Неопределенности. Способы ракрытия неопределенности [∞/∞].

Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при.

(Правило Лопиталя).

Пусть функции иудовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки;

2) ив этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Замечание

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать заменуи воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание

Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание

Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

7. Таблица эквивалентных б.м.. Вывод соотношений

7. Таблица эквивалентных б.м.. Вывод соотношений

8. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.

Функция называетсянепрерывной в точке , если:

1. функция определена в точкеи ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Непрерывность функции на промежутке

Определение

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция называетсянепрерывной справа в точке , если.

Функция называетсянепрерывной слева в точке , если.

Функция называетсянепрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называетсянепрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале, непрерывной справа в точке, то естьи непрерывной слева в точке, то есть

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.