- •2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- •3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- •4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- •5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- •6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- •7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Доказательство (условия совместности системы)
- •9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- •Условия коллинеарности векторов
- •12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- •Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- •Пример.
- •13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- •14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- •Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- •15. Векторное произведение векторов.
- •16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- •18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- •19. Нормированное уравнение прямой.
- •20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- •21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- •22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- •23. Каноническое уравнение эллипса.
- •24. Каноническое уравнение гиперболы.
- •25. Каноническое уравнение параболы.
- •26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- •28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- •29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- •30. Нормированное уравнение плоскости
- •31. Расстояние от точки до плоскости.
- •32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- •33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- •34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- •Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- •36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- •37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- •38. Сферическая система координат.
Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
Начнем с постановки задачи на плоскости.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек и . Нам требуется найти координаты и точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где - некоторое положительное действительное число.
Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство ). Обратите внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении , то будет выполняться равенство . Очевидно, что при точка С является серединой отрезка АВ.
Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.
Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .
Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, и . Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .
В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.
Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на числосправедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .
Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .
Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам и .
15. Векторное произведение векторов.
Векторное проведение векторов.
Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:
-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и
-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.
-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения:
1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.
2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.
3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.
4.Для любых трех векторов справедливо равенство
5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :
Векторное произведение в координатной форме.
Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:
.
Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:
Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
Решение: .
, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:
,