- •2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- •3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- •4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- •5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- •6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- •7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Доказательство (условия совместности системы)
- •9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- •Условия коллинеарности векторов
- •12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- •Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- •Пример.
- •13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- •14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- •Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- •15. Векторное произведение векторов.
- •16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- •18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- •19. Нормированное уравнение прямой.
- •20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- •21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- •22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- •23. Каноническое уравнение эллипса.
- •24. Каноническое уравнение гиперболы.
- •25. Каноническое уравнение параболы.
- •26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- •28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- •29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- •30. Нормированное уравнение плоскости
- •31. Расстояние от точки до плоскости.
- •32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- •33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- •34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- •Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- •36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- •37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- •38. Сферическая система координат.
19. Нормированное уравнение прямой.
Поставим задачу: выразить уравнение прямой L через два параметра: 1) длину отрезка , где - единичный вектор нормали к прямой 2) угол q между вектором И осью Ох.
Очевидно, .
Точка М(х, у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда проекция на ось, определяемую вектором , равна - длине отрезка , обозначенной за Р.
Если единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения, имеем:
Т. е. точка М(х, у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению:.
Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.
Как привести уравнение A x + B y + C = 0 к нормированному виду? Так, как уравнения A x + B y + C = 0 и должны определять одну и туже прямую, то должно быть: , или .
Возведем в квадрат и складывая первые два равенства, получим
Знак нужно взять из третьего равенства : поскольку р – расстояние, которое всегда положительно, то знак у t нужно брать противоположным знаку с.
Множитель Взятый со знаком, противоположным знаку слагаемого с, называется нормирующим множителем.
Введем теперь фундаментальное понятие Тклонения произвольной точки М от прямой L. Пусть число d означает расстояние от точки М до прямой L. Назовем отклонением d точки М от прямой L число +d, если точка М и начало координат О лежат по разные стороны от прямой L, и число –d в случае, когда М и О лежат по одну сторону от L.
Если же начало координат лежит на прямой L, то отклонение +d положим, когда М лежит по ту сторону от L, куда направлен нормальный вектор N , и –d в противном случае.
Запишем без доказательства, что левая часть нормированного уравнения прямой равна отклонению точки М с координатами (x, y) от прямой, определяемой этим нормированным уравнением. Это дает возможность легко определить расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно нормировать уравнение прямой и подставить в него координаты точки (x, y):
20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
|
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между ними. Угол между двумя непараллельными прямыми α1 и α2 найдем как угол между направляющими векторами этих прямых при задании канонических уравнений для α1 и α2, или же как угол между их нормалями, если заданы общие уравнения прямых α1 и α2. |
Пусть заданы две прямые α1: и α2: . Направляющие векторы этих прямых:и. Угол φ между прямыми найдем из скалярного произведения векторови:. Пусть заданы общие уравнения прямыхи:А1х+В1у+С1 = 0 и А 2х+В 2у+С 2=0. Тогда нормали к этим прямым: и, и. Если, то изиследует:. Условием перпендикулярности прямых будет соответственно:либолибо. Из последнего равенства следует, что. Таким образом угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых обратные по величине и противоположны по знаку. Условием параллельности прямых будет соответствовать:либолибо.