34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями прямой некоторого вида (смотрите статью виды уравнений прямой в пространстве). По уравнениям прямых мы можем определить координаты их направляющих векторов. Итак, и - направляющие векторы заданных пересекающихся прямых a и b соответственно. Тогда косинус угла между пересекающимися прямыми a и b в пространстве вычисляется по формуле , а сам угол – по формуле .

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a.

Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М₁ до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М₁ до точки H₁, где H₁ - основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁ на прямую a. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.

Итак, приступим.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.

Так как по определению расстояние от точки М₁ до прямой a – это длина перпендикуляраM₁H₁, то, определив координаты точки H₁, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками и по формуле .

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М₁ к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H₁ – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М₁ перпендикулярно к прямой a.

Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямой a в пространстве, таков:

• составляем уравнение плоскости как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a;

• определяем координаты точки H₁ – точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскоти);

• вычисляем требуемое расстояние от точки М₁ до прямой a по формуле .

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.

Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектор и координаты некоторой точки М₃, лежащей на прямой a. Тогда по координатам точек и мы можем вычислить координаты вектора : (при необходимости обращайтесь к статьекоординаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Отложим векторы и от точки М₃ и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М₁H₁.

Очевидно, высота М₁H₁ построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точкиМ₁ до прямой a. Найдем .

С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена через векторное произведение векторов и по формуле . С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть, , где - длина вектора , равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние от заданной точки М₁ до заданной прямой a может быть найдена из равенства как .

Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно

• определить направляющий вектор прямой a () и вычислить его длину ;

• получить координаты некоторой точки М₃, лежащей на прямой a, вычислить координаты вектора , найти векторное произведение векторов и как и получить его длину ;

• вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле .