Отсюда .

Теперь найдем площадь треугольника: ,.

З а д а н и е 10. Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно точки.

Р е ш е н и е. Момент силы относительно точкиесть вектор. Найдем координаты вектораи искомого вектора:,, т.е..

Индивидуальные задания по векторной алгебре

Задание 1. Написать разложение вектора по векторам,,.

1. =15; –20; –1, =0; 2; 1, =0; 1; –1, =5; –3; 2.

2. =2; 7; 5, =1; 0; 1, =1; –2; 0, =0; 3; 1.

3. =8; –7; –13, =0; 1; 5, =3; –1; 2, =–1; 0; 1.

4. =0; –8; 9, =0; –2; 1, =3; 1; –1, =4; 0; 1.

5. = –13; 2; 18, =1; 1; 4, =–3; 0; 2, =1; 2; –1.

6. =11; –1; 4, =1; –1; 2, =3; 2; 0, =–1; 1; 1.

7. =–1; 7; 0, =0; 3; 1, =1; –1; 2, =2; –1; 0.

8. =3; 1; 3, =2; 1; 0, =1; 0; 1, =4; 2; 1.

9. =23; –14; –30, =2; 1; 0, =1; –1; 0, =–3; 2; 5.

10. = 8; 9; 4, = 1; 0; 1, =0; –2; 1}, =1; 3; 0.

11. =–15; 5; 6, =0; 5; 1, =3; 2; –1, =–1; 1; 0.

12. =–5; 9; –13, =0; 1; –2, =3; –1; 1, =4; 1; 0.

13. =–9; –8; –3, =1; 4; 1, =–3; 2; 0, =1; –1; 2.

14. =8; 1; 12, =1; 2; –1, =3; 0; 2, =–1; 1; 1.

15. =3; 1; 8, =0; 1; 3, =1; 2; –1, =2; 0; –1.

16. =8; 0; 5, =2; 0; 1, =1; 1; 0, =4; 1; 2.

17. =11; 5; –3, =1; 0; 2, =–1; 0; 1, =2; 5; –3.

18. =2; –1; 11, =1; 1; 0, =0; 1; –2, =1; 0; 3.

19. =5; 15; 0, =1; 0; 5, =–1; 3; 2, =0; –1; 1.

20. =6; –1; 7, =1; –2; 0, =–1; 1; 3, =1; 0; 4.

21. =6; 5; –14, =1; 1; 4, =0; –3; 2, =2; 1; –1.

22. =–1; 7; –4, =–1; 2; 1, =2; 0; 3, =1; 1; –1.

23. =3; 3; –1, =3; 1; 0, =–1; 2; 1, =–1; 0; 2.

24. =3; –3; 4, =1; 0; 2, =0; 1; 1, =2; –1; 4.

25. =–19; –1; 7, =0; 1; 1, =–2; 0; 1, =3; 1; 0.

26. =13; 2; 7, =5; 1; 0, =2; –1; 3, =1; 0; –1.

27. =–5; –5; 5, =–2; 0; 1, =1; 3; –1, =0; 4; 1.

28. =–9; 5; 5, =4; 1; 1, =2; 0; –3, =–1; 2; 1.

29. =1; –4; 4, =2; 1; –1, =0; 3; 2, =1; –1; 1.

30. =6; 12; –1, =1; 3; 0, =2; –1; 1, =0; –1; 2.

Задание 2. Найти угол между векторами и , если:

1. =–1; 2; 8, =3; 7; –1, = 4– 3, = 9– 12.

2. =2; 0; –5, =1; –3; 4, = 2– 5, = 5– 2.

3. =4; 2; –7, =5; 0; –3, =– 3, = 6– 2.

4. =–1; 3; 4, =2; –1; 0, = 6– 2, =– 3.

5. =5; 0; 8, =–3; 1; 7, = 3– 4, = 12– 9.

6. =2; –1; 6, =–1; 3; 8, = 5– 2, = 2– 5.

7. =4; 2; 9, =0; –1; 3, = 4– 3, = 4– 3.

8. =9; 5; 3, =7; 1; –2, = 2–, = 3+ 5.

9. =5; –1; –2, =6; 0; 7, = 3– 2, = 4– 6.

10. =2; –1; 4, =3; –7; –6, = 2– 3, = 3– 2.

11. =3; 7; 0, =4; 6; –1, = 3+ 2, = 5– 7.

12. =1; –2; 4, =7; 3; 5, = 6– 3, =– 2.

13. =3; –1; 6, =5; 7; 10, = 4– 2, =– 2.

14. =8; 3; –1, =4; 1; 3, = 2–, = 2– 4.

15. =5; 0; –2, =6; 4; 3, = 5– 3, = 6– 10.

16. =7; 9; –2; =5; 4; 3, = 4–, = 4–.

17. =–1; 2; –1, =2; –7; 1, = 6– 2, = – 3.

18. =3; 7; 0, =1; –3; 4, = 4– 2, = – 2.

19. =–2; 7; –1, =–3; 5; 2, = 2+ 3, = 3+ 2.

20. =0; 3; –2, =1; –2; 1, = 5– 2, = 3+ 5.

21. =5; 0; –1, =7; 2; 3, = 2–, = 3– 6.

22. =1; 4; 2, =3; –2; 6, = 2–, = 3– 6.

23. =–2; –3; –2, =1; 0; 5, = 3+ 9, = – – 3.

24. =3; 4; –1, =2; –1; 1, = 6– 3, = – 2.

25. =1; –2; 5, =3; –1; 0, = 4– 2, = – 2.

26. =1; 4; –2, =1; 1; –1, =+, = 4+ 2.

27. =3; 5; 4, =5; 9; 7, = – 2+, = 3– 2.

28. =1; 2; –3, =2; –1; –1, = 4+ 3, = 8–.

29. =–2; 4; 1, =1; –2; 7, = 5+ 3, = 2–

30. =1; 0; 1, =–2; 3; 5, =+ 2, = 3–.

Задание 3. Найти проекцию вектора на вектор, если:

1. А(–2; 4; –6), В(0; 2; –4), С(–6;8;–10).

2. А(–4; 0; 4), В(–1; 6; 7), С(1; 10; 9).

3. А(0; 1; 0), В(0; 2; 1), С(1; 2; 0).

4. А(1; 4; –1), В(–2; 4; –5), С(8; 4; 0).

5. А(–2; 1; 1), В(2; 3; –2), С(0; 0; 3).

6. А(3; 3; –1), В(5; 1; –2), С(4;1;–3).

7. А(0; 3; –6), В(9; 3; 6), С(12; 3 ;3).

8. А(–1;2;–3), В(0;1;–2), С(–3;4;–5).

9. А(2;2;7), В(0;0;6), С(–2;5;7).

10. А(2;3;2), В(–1;–3;–1), С(–3;–7;–3).

11. А(7;0;2), В(7;1;3), С(8;–1;2).

12. А(1; –1;0), В(– 2;– 1;4), С(8;–1;–1).

13. А(– 4;3;0), В(0;1;3), С(–2;4;–2).

14. А(3;3;–1), В(5;1;–2), С(4;1;1).

15. А(0;2;–4); В(8;2;2); С(6;2;4).

16. А(3;–6;9), В(0;–3;6), С(9; –12; 15).

17. А(2;–8;–1), В(4;–6;0), С(–2; –5; –1).

18. А(0;0;4), В(–3;–6;1), С(–5; –10; –1).

19. А(6;2;–3), В(6;3;–2), С(7; 3; –3).

20. А(–1;–2;1), В(–4;–2;5), С(–8; –2; 2).

21. А(2; 1; –1), В(6; –1; –4), С(4; 2; 1).

22. А(3; 3; –1), В(1; 5; –2), С(4;1;1).

23. А(0; 1; –2), В(3; 1; 2), С(4; 1; 1).

24. А(2; –4; 6), В(0; –2; 4), С(6;–8; 10).

25. А(–3; –7; –5), В(0;–1;–2), С(2;3;0).

26. А(5; 3; –1), В(5; 2; 0), С(6;4;–1).

27. А(–4; –2; 0), В(–1; –2; 4), С(3;–2;1).

28. А(–1; 2; –3), В(3; 4; –6), С(1; 1; –1).

29. А(3; 3; –1), В(5;5;–2), С(4; 1; 1).

30. А(0; –3; 6), В(–12; –3; –3), С(–9; –3; –6).

Задание 4. Параллелограмм построен на векторах и. Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

1. = 3+ 2; = 2– ;  = 4;  = 3; (^) = 3/4.

2. = 2– 3; = 5+;  = 2;  = 3; (^) = /2.

3. = 2+ 3; =– 2;  = 2;  = 1; (^) = /3.

4. = 6– ; = 5 + ; = 1/2;  = 4; (^) = 5/6.

5. = 3– 4; =+ 3;  = 2;  = 3; (^) = /4.

6. = 5– ; =+;  = 5;  = 3; (^) = 5/6.

7. = 3+ ; =– 3; = 7;  = 2; (^) = /4.

8. =+ 3; = 3– ;  = 3;  = 5; (^) =2/3.

9. = 7+ ; =– 3;  = 3;  = 1; (^) = 3/4.

10. = 3+ 4; =– ;  = 2;5;  = 2; (^) = /2.

11. = 6– ; =+ 2;  = 8;  = 1/2; (^) = /3.

12. = 10+; = 3– 2;  = 4;  = 1; (^) = /6.

13. = 6– ; =+;  =3;  = 4; (^) = /4.

14. = 7– 2; =+ 3;  =1/2;  =2; (^) = /2.

15. = 5+ ; =– 3;  = 1;  = 2; (^) = /3.

16. = 2– 3; = 3+ ;  = 4;  = 1; (^) = /6.

17. = 2+ 3; =– 2;  = 2;  = 3; (^) = /4.

18. = 3– ; =+ 2;  =3;  = 4; (^) = /3.

19. = 2+ 3; =– 2;  = 6;  =7; (^) = /3.

20. = 4– ; =+ 2;  =5;  = 4; (^) = /4.

21. = 3+ 2; =– ;  = 10;  = 1; (^)= /2.

22. =+ 4; = 2– ;  = 7;  = 2; (^)= /3.

23. =– 4; = 3+ ;  = 1;  = 2; (^)= /6.

24. = 4+; =– ;  = 7;  = 2; (^)= /4.

25. = 2– ; =+3;  = 3;  = 2; (^)= /2.

26. =+3; =– 2;  = 2;  = 3; (^)= /3.

27. =– 2; = 2+ ;  = 2;  = 3; (^)= 3/4.

28. = 3 – 2; =+5;  = 4;  = 1/2; (^)= 5/6.

29. =– 3; =+2;  = 5;  = 1; (^)= /2.

30. =3+ ; =–2;  = 4;  = 1; (^)= /4.

Задание 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если:

1. А(2; 5; – 3), В(7; 8; –1), С(9; 7; 4).

2. А(–3;6;4), В(8;–3;5), С(10;–3;7).

3. А(7;–5;0), В(8;3;–1), С(8;5;1).

4. А(–1;2;–2), В(13;14;1), С(14;15;2).

5. А(5;3;–1), В(0;0;–3), С(5;–1;0).

6. А(–3;–1;7), В(0;2;–6), С(2;3;–5).

7. А(0;7;–9), В(–1;8;–11), С(–4;3;–12).

8. А(1;–5;–2), В(6;–2;1), С(2;–2;–2).

9. А(0;–8;10), В(–5;5;7), С(–8;0;4).

10. А(–4;–2;5), В(3;–3;–7), С(9;3;–7).

11. А(–3;1;0), В(6;3;3), С(9;4;–2).

12. А(1;0;–6), В(–7;2;1), С(–9;6;1).

13. А(–7;1;–4), В(8;11;–3), С(9; 9; –1).

14. А(2;1;7), В(9;0;2), С(9; 2; 3).

15. А(3;–3;–6), В(1; 9; – 5), С(6; 6;–4).

16. А(–10;0;9), В(12;4;11), С(8;5;15).

17. А(1;–1;5), В(0;7;8), С(–1;3;8).

18. А(0;–2;8), В(4;3;2), С(1;4;3).

19. А(–3;7;2), В(3;5;1), С(4;5;3).

20. А(5;–1;2), В(2;–4;3), С(4;–1;3).

21. А(0;–3;5), В(–7;2;6), С(–3;2;4).

22. А(–7;0;3), В(1;–5;–4), С(2;–3;0).

23. А(1;9;–4), В(5;7;1), С(3;5;0).

24. А(–2;0;–5), В(2;7;–3), С(1;10;–1).

25. А(1;–1;8), В(–4;–3;10), С(–1;–1;7).

26. А(–3;5;–2), В(–4;0;3), С(–3;2;5).

27. А(7;–5;1), В(5;–1;–3), С(3;0;–4).

28. А(–8;0;7), В(–3;2;4), С(–1;4;5).

29. А(4;–2;0), В(1;–1;–5), С(–2;1;–3).

30. А(–1;3;4), В(–1;5;0), С(2;6;1).

Задание 6. Компланарны ли вектора ,, ?

1. =7;4;6, =2;1;1, =19;11;17.

2. =–7;10;–5, =0;–2;–1, =–2;4;–1.

3. =–3;3;3, =–4;7;6, =3;0;–1.

4. =4;1;1, =–9;–4;–9, =6;2;6.

5. =6;3;4, =–1;–2;–1, =2;1;2.

6. =1;–1;4, =1;0;3, =1;–3;8.

7. =3;0;3, =8;1;6, =1;1;–1.

8. =3;1;0, =–5;–4;–5, =4;2;4.

9. =4;–1;–6, =1;–3;–7, =2;–1;–4.

10. =3;4;2, =1;1;0, =8;11;6.

11. =5;3;4, =4;3;3, =9;5;8.

12. =4;1;2, =9;2;5, =1;1;–1.

13. =4;2;2, =–3;–3;–3, =2;1;2.

14. =3;1;–1, =1;0;–1, =8;3;–2.

15. =–2;–4;–3, =4;3;1, =6;7;4.

16. =3;10;5, =–2;–2;–3, =2;4;3.

17. =5;3;4, =–1;0;–1, =4;2;4.

18. =2;3;2, =4;7;5, =2;0;–1.

19. =7;3;4, =–1;–2;–1, =4;2;4.

20. =6;3;4, =–1;–2;–1, =2;1;2.

21. =1;–2;6, =1;0;1, =2;–6;17.

22. =3;7;2, =–2;0;–1, =2;2;1.

23. =3;2;1, =1;–3;–7, =1;2;3.

24. =4;3;1, =6;7;4, =2;0;–1.

25. =4;3;1, =1;–2;1, =2;2;2.

26. =3;1;–1, =–2;–1;0, =5;2;–1.

27. =3;3;1, =1;–2;1, =1;1;1.

28. =1;–1;–3, =3;2;1, =2;3;4.

29. =1;5;2, =–1;1;–1, =1;1;1.

30. =3;2;1, =2;3;4, =3;1;–1.

Задание 7. Точки А_1, А_2, А_3, А₄ являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани А₁А₂А₃ и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

1. А₁(1;–1;2), А₂(2;1;2), А₃(1;1;4), А₄(6;–3;8).

2. А₁(2;–4;–3), А₂(5;–6;0), А₃(–1;3;–3), А₄(–10;–8;7).

3. А₁(–3;–5;6), А₂(2;1;–4), А₃(0;–3;–1), А₄(–5;2;–8).

4. А₁(–2;–1;–1), А₂(0;3;2), А₃(3;1;–4), А₄(–4;7;3).

5. А₁(1;3;0), А₂(4;–1;2), А₃(3;0;1), А₄(–4;3;5).

6. А₁(0;–3;1), А₂(–4;1;2), А₃(2;–1;5), А₄(3;1;–4).

7. А₁(–1;2;4), А₂(–1;–2;–4), А₃(3;0;–1), А₄(7;–3;1).

8. А₁(3;10;–1), А₂(–2;3;–5), А₃(–6;0;–3), А₄(1;–1;2).

9. А₁(1;2;–3), А₂(1;0;1), А₃(–2;–1;6), А₄(0;–5;–4).

10. А₁(1;0;2), А₂(1;2;–1), А₃(2;–2;1), А₄(2;1;0).

11. А₁(1;2;0), А₂(1;–1;2), А₃(0;1;–1), А₄(–3;0;1).

12. А₁(1;–1;1), А₂(–2;0;3), А₃(2;1;–1), А₄(2;–2;–4).

13. А₁(4;–1;3), А₂(–2;1;0), А₃(0;–5;1), А₄(3;2;–6).

14. А₁(–1;2;–3), А₂(4;–1;0), А₃(2;1;–2), А₄(3;4;5).

15. А₁(–3;4;–7), А₂(1;5;–4), А₃(–5;–2;0), А₄(2;5;4).

16. А₁(1;5;–7), А₂(–3;6;3), А₃(–2;7;3), А₄(–4;8;–12).

17. А₁(1;1;–1), А₂(2;3;1), А₃(3;2;1), А₄(5;9;–8).

18. А₁(2;3;1), А₂(4;1;–2), А₃(6;3;7), А₄(7;5;–3).

19. А₁(1;1;2), А₂(–1;1;3), А₃(2;–2;4), А₄(–1;0;–2).

20. А₁(2;–1;2), А₂(1;2;–1), А₃(3;2;1), А₄(–4;2;5).

21. А₁(1;2;0), А₂(3;0;–3), А₃(5;2;6), А₄(8;4;–9).

22. А₁(14;4;5), А₂(–5;–3;2), А₃(–2;–6;–3), А₄(–2;2;1).

23. А₁(–2;0;–4), А₂(–1;7;1), А₃(4;–8;–4), А₄(1;–4;6).

24. А₁(2;–1;–2), А₂(1;2;1), А₃(5;0;–6), А₄(–10;9;–7).

25. А₁(5;2;0), А₂(2;5;0), А₃(1;2;4), А₄(–1;1;1).

26. А₁(0;–1;–1), А₂(–2;3;5), А₃(1;–5;–9), А₄(–1;–6;3).

27. А₁(–1;–5;2), А₂(–6;0;–3), А₃(3;6;–3), А₄(–10;6;7).

28. А₁(2;1;4), А₂(–1;5;–2), А₃(–7;–3;2), А₄(–6;–3;6).

29. А₁(7;2;4), А₂(7;–1;–2), А₃(3;3;1), А₄(–4;2;1).

30. А₁(–4;2;6), А₂(2;–3;0), А₃(–10;5;8), А₄(–5;2;–4).