Рассмотрим движение произвольной точки А на расстоянии R от оси вращения тела. Её скорость по модулю равна (при равномерном вращении):
v = |
s |
= R |
ϕ |
= Rω , |
(11) |
|
t |
t |
|||||
|
|
|
|
где s – пройденный путь за время t. Это выражение определяет связь между линейной и угловой скоростями. Оно справедливо также для мгновенных величин при неравномерном вращении. В векторной форме эта связь выводится из (7):
G |
|
dr |
dϕ |
G |
G G |
|
|
|
v |
= |
|
= |
|
, r |
=[ω, r |
] , |
(12) |
dt |
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
||
где rG – радиус-вектор выбранной точки относительно произвольной точки оси вращения. |
|
|||||||
Вектор линейного ускорения рассматриваемой точки a лежит в плоскости вращения (она перпендикулярна оси вращения) и он может быть разложен на составляющие: тангенциальное (касательное) ускорение aGτ , которое направлено по касательной к траектории линии, и нор-
мальное ускорение aGn , которое направлено перпендикулярно к касательной линии, к центру кривизны траектории. Таким образом вектор ускорения равен a = aτ +aGn , а его модуль
a = aτ2 +an2 . Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю:
aτ = |
dv |
|
или aGτ |
= |
dv |
τG, |
(13) |
||
|
dt |
dt |
|||||||
где τG – единичный вектор, направленный по касательной линии. |
|
||||||||
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению: |
|
||||||||
|
|
|
v2 |
|
G |
|
v2 |
G |
(14) |
a |
= |
|
|
|
или a |
= |
|
n , |
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
R |
|
n |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R – радиус кривизны траектории, n – единичный нормальный вектор, направленный перпендикулярно траектории (по нормали) к центру ее кривизны.
Подставив в (13) и (14) выражение для скорости (11), получим связи между линейными и уг-
ловыми величинами ускорений:
a = R |
dω |
= Rβ и a |
|
= |
(Rω)2 |
= Rω2 , |
(15) |
|
n |
|
|||||
τ |
dt |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где учтено, что R = const.
В векторной форме эти связи получаются дифференцированием (12) и имеют вид:
aG |
=[β, rG] и a |
n |
=[ω, [ω, r ]] . |
(15) |
τ |
|
|
|
Кинематические уравнения равнопеременного (т.е. с постоянным угловым ускорением) вращения точки в угловых величинах аналогичны уравнениям поступательного равноускоренного движения, где линейные величины заменены угловыми:
ω = ω0 ±βt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
(16) |
ϕ =ϕ |
0 |
±ω |
t ± |
βt 2 |
||
|
|
|||||
|
0 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Контрольные вопросы
1.Какое движение называется вращательным?
2.Определение угловой скорости.
3.Как направлен вектор угловой скорости?
4.Определение углового ускорения.
5.Определение поступательного движения.
7
6.Как направлен вектор углового ускорения?
7.Выражения связи линейных и угловых скорости и ускорения.
8.В каких единицах в системе СИ измеряется ускорение?
9.Определение тангенциальной составляющей ускорения.
10.Определение нормальной составляющей ускорения.
11.Определение полного ускорения.
12.Формулы, описывающие равнопеременное движение точки по окружности.
13.Определение радиус-вектора.
14.Определение перемещения.
8