Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО МАТЕМАТИКЕ

4 СЕМЕСТР

Казань 2012

2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ф.Х. АРСЛАНОВ, Т.А. ГРИГОРЯН, Е.В. ЛИПАЧЕВА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО МАТЕМАТИКЕ

4 СЕМЕСТР

Казань 2012

3

УДК 517.1 ББК 22.1

А 85

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Казанского государственного энергетического университета Ф.Н. Гарифьянов; кандидат физико-математических наук, доцент Казанского государственного энергетического университета В.В. Андреев

А85 Арсланов Ф.Х., Григорян Т.А., Липачева Е.В.

Практические занятия по математике. 4 семестр /

Ф.Х. Арсланов, Т.А. Григорян, Е.В. Липачева. – Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2012. – 215 с.

Методическое пособие включает практические занятия, проводимые преподавателями по математике со студентами четвертого семестра. Каждое занятие содержит необходимый теоретический материал, разобранные примеры решения задач, а также набор задач для самостоятельного решения студентами в аудитории или дома. Среди задач имеются как простые, типовые, так и задачи

повышенного уровня сложности.

Предназначено для студентов второго курса, обучающихся по направле-

ниям 140100, 140400, 141100, 150100, 200100, 210100, 220400, 223200, 230100, 280700, и преподавателей. Может использоваться при проведении занятий.

УДК 517.1 ББК 22.1

© Казанский государственный энергетический университет, 2012

4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Формы представления комплексных чисел

Произвольное комплексное число имеет вид z a ib , где a и b – действительные числа, буква «i» обозначает мнимую единицу и ее

5

π φ 0 π , называть главным значением аргумента комплексного числа z . Обозначается аргумент символом Arg z , а его главное значение – символом arg z . Отсюда

Arg z arg z 2 πk , k 0, 1, 2, ... .

y

b

Рис. 1.1

Приведем формулы для вычисления главного значения φ arg z комплексного числа z a ib

Такое представление числа z называется тригонометрической записью комплексного числа.

С применением формулы Эйлера

e ir cos r isin r ,

где r – любое действительное число, из тригонометрического представления комплексного числа получается показательная форма представления:

z z e iarg z .

Приведем правила умножения и деления комплексных чисел, представленных в тригонометрической и показательной формах:

z1 z 2 z1 z 2 cos arg z1 arg z 2 isin arg z1 arg z 2 ,

Для возведения комплексного числа, записанного в алгебраической форме, во вторую или третью степень, обычно применяют формулы сокращенного умножения. Для возведения комплексного числа в натуральную степень выше третьей применяют формулу Муавра:

z n z n cos n arg z isin n arg z .

Примеры решения задач

1. Вычислить арифметическое выражение:

Решение. 1) Каждую из дробей представим в алгебраической форме:

Теперь вычтем значения дробей:

2) Вычислим степени мнимой единицы:

i 3 i 2 i 1 i i , i 5 i 3 i 2 i 1 i .

Применим формулу сокращенного умножения («куба суммы двух чисел»):

1 i 3 13 3 12 i 3 1i 2 i 3 1 3i 3 i 2 2i .

Теперь арифметическое выражение примет вид:

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия в числителе и знаменателе полученной дроби:

3030

2.Комплексное число z представить в тригонометрической и показательной формах, если

z cos π isin π ,

22

апоказательной формой выражение

πi

тригонометрическую и показательную формы:

z2 cos π isin π , z 2e πi .

3)Применим правило приведения тригонометрических функций к острому углу:

10