Пособие по контрольным. Линейная алгебра
.pdf
|
|
6 |
4 |
-5 |
2 |
-5 |
|
|
|
||||||
|
|
-3 |
5 |
-7 |
-3 |
-9 |
|
4. Вычислить, пользуясь свойствами определителей: |
|
3 |
8 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
3 |
6 |
-4 |
3 |
-4 |
|
|
|
7 |
8 |
-2 |
3 |
-5 |
|
. |
|
ì |
x - 3y + z = 9 |
ï |
|
5. Доказать совместность системы í2x + 4y + 3z = -3 и найти решение: |
|
ï |
2x - y + 2z = 3 |
î |
|
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы. 6. Показать, что векторы a1(-1;9;0;-3), a2 (3;-2;0;2), a3 (5;-6;-8;3) ,
a4 (7;0;1;-1) образуют базис. Найти разложение вектора b(0;3;-16;-3)
в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество всех векторов, лежащих на осях ОХ и ОУ?
æ |
4 |
1 |
0 |
ö |
ç |
1 |
4 |
0 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷. |
|||
ç |
1 |
1 |
5 |
÷ |
è |
ø |
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(1;0;-5) ,
b(3;2;-7) , c(5;0;-9) , d(-4;2;12) линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
ìx1 - x2 + x3 - 2x4 + x5 = 0 |
|||||
ï |
3x1 - x3 - 5x4 + x5 = 0 . |
||||
решений данной системы уравнений:í |
|||||
ï |
x + 2x |
2 |
- 2x - 3x |
4 |
= 0 |
î |
1 |
3 |
|
||
11.Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:
F(x1, x2 , x3 ) = -2x12 - 4x1x2 + 4x2x3 + 5x22 - 2x32 .
41
12. Найти расстояние между прямыми |
х − 2 |
= |
у + 3 |
= |
z |
и |
|||
1 |
0 |
-1 |
|
||||||
ì2xу- z- +1 |
= 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
í |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
îx + y - 2z - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (0;2;1)
относительно плоскости 2x + 4y − 3 = 0 .
14.Найти расстояние от точки M (0;2;1) до плоскости 2x + 4y − 3z + 1 = 0
15.Найти каноническое уравнение кривой 6x2 + 6y2 + 6x - 2y -1 = 0 и построить ее.
ВАРИАНТ №10 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в
тригонометрической и показательной форме ( 4 - i) 2 - 8i3 ( 2 - i13 ) . i5
2.Вычислить по формулам Муавра: ( -
2 + 
2i)8 , 6
- 641 .
3.Разложить многочлен x4 - 4x3 + 8x2 - 20x +15 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
|
|
3 |
4 |
3 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
-5 |
6 |
-5 |
2 |
3 |
|
|
4. Вычислить, пользуясь свойствами определителей: |
|
4 |
-9 |
3 |
7 |
-5 |
|
. |
|
|
1 |
4 |
3 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
7 |
-5 |
2 |
3 |
|
|
ì3x - y + z =11
5. Доказать совместность системы ïí5x + 2y + z =1 и найти решение:
ïî4x - y - 2z = 0
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы.
42
6. Показать, что векторы a1(5;1;-7;-2) , a2 (2;-3;-1;9) , a3 (-7;-1;1;2) ,
a4 (3;4;-5;6) образуют базис. Найти разложение вектора b(-7;-1;0;-15) в этом базисе. Сделать проверку.
7. Образует ли линейное пространство множество всех векторов в R3 с
отрицательными координатами? |
|
|
|
|
æ |
2 |
0 |
3 |
ö |
ç |
1 |
6 |
1 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷. |
|||
ç |
3 |
0 |
2 |
÷ |
è |
ø |
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(2;1;7) , b(-3;-3;8) ,
c(-5;4;-1), d(-18;25;1) линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
ì x1 + x2 + x3 + 2x4 + 4x5 = 0
решений данной системы уравнений:ïí x1 - 2x2 - 3x3 + x4 + 2x5 = 0 .
ïî2x1 - x2 - 2x3 + 3x4 + 3x5 = 0
11. |
Выяснить знакоопределенность квадратичной формы: |
|
|
||||||||||||
F(x , x , x ) = -3x2 |
+ 2x x - 8x x + 4x x + 9x2 + 3x |
2 . |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx = 2 - 2t |
ì2x - y + z + 2 |
= 0 |
|
|
12. |
Найти расстояние между прямыми |
ï |
|
. |
|||||||||||
í y =1+ 3t |
и í |
= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
î x + 2y - z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î z = -t |
|
|
|
|
13. Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (−2;−3;0)
относительно прямой |
х + 0,5 |
= |
у +1,5 |
= |
z − 0,5 |
. |
1 |
0 |
|
||||
|
|
1 |
|
|||
14. Найти расстояние от точки M (2;−1;0) до плоскости x − 2y + z −1 = 0 .
15. Найти каноническое уравнение кривой 5x2 + 8xyу+ 5 2 -x18 -y18 + 9 = 0 и построить ее.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
43
1.Качаева Т. И. Линейная алгебра. Электронный вариант. СФУ, 2015.
2.Солодовников А.С. и др. Математика в экономике. Ч.1. М.: Статистика и финансы, 2003.
3.Гусак А.А. Высшая математика. Т.1. Минск: ТетраСистемс, 2003.
4.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1980.
5.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Оникс, 2003.
6.Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2004.
7.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1978.
8.Качаева Т.И., Пинкина Н.А. Матричная алгебра. Учебное
пособие для студентов з/о экономических специальностей. Крас. гос. ун-т: Красноярск, 1997, 100 с.
9. Берсенев С. М. Матричная алгебра в экономике. Учебное пособие. Красноярск, 1996; 66 с.
44
Составитель: Качаева Татьяна Ивановна
Линейная алгебра
Корректура автора
45
46