Пособие по контрольным. Линейная алгебра
.pdf
3 |
4 |
-3 |
-1 |
-2 |
|
|
|||||
-5 |
6 |
5 |
2 |
-3 |
|
4 |
-9 |
-3 |
7 |
5 |
. |
-1 |
-4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
7 |
5 |
2 |
-3 |
|
ì 5x - 2y + 2z = -5 |
|
ï |
3x - y - 2z = -6 и найти решение: |
5. Доказать совместность системы í |
|
ïî4x - 3y - 3z = -10
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы. 6. Показать, что векторы a1(3;7;9;0) , a2 (-3;0;7;0) , a3 (2,-3;-5;4) ,
a4 (1;-2;0;-7) образуют базис. Найти разложение вектора b(-10;-8;25;1) в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество вырожденных матриц третьего порядка?
æ |
3 |
1 |
1 |
ö |
ç |
0 |
2 |
1 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷. |
|||
ç |
0 |
1 |
2 |
÷ |
è |
ø |
9. |
Исследовать по определению, являются ли векторы a(-2;-3;5), |
|
b(1;3;4) , c(7;-8;-1), d(1;-20;1) линейно зависимыми? |
||
10. |
Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему |
|
|
ì |
x1 + x2 +10x3 + x4 - x5 = 0 |
|
ï |
5x1 - x2 + 8x3 - 2x4 + 2x5 = 0 . |
|
решений данной системы уравнений:í |
|
|
ï |
|
|
î3x1 - 3x2 -12x3 - 4x4 + 4x5 = 0 |
|
11.Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:
F(x1, x2 , x3 ) = 3x12 + 8x1x2 - 8x1x3 - 8x2x3 - 7x22 + 3x32 .
31
12. Найти расстояние между прямыми |
х + 1 |
= |
у − 2 |
= |
z −1 |
и |
||
1 |
|
0 |
3 |
|
||||
ì2x - y + z +1 = 0 íî 3x - 2z + 5 = 0 .
13.Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (1;0;−1)
относительно плоскости 2y + 4z −1 = 0 .
14.Найти расстояние от точки M (0;2;1) до плоскости x − 3y + z − 5 = 0 .
15.Найти каноническое уравнение кривой
15x2 -16xyу-15 2 x- 62 y- 44 -13 = 0 и построить ее.
ВАРИАНТ №4
1.Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной форме (1- (33i)+(1i)+ 3i) + 2i18 .
2.Вычислить по формулам Муавра(1- 
3i)6 ; 3
-27i .
3.Разложить многочлен x4 + 4x3 + 8x2 + 20x +15 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:
-9 |
7 |
6 |
-4 |
4 |
|
|
|||||
4 |
-3 |
-5 |
-1 |
3 |
|
-3 |
5 |
5 |
1 |
-3 |
. |
7 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
|
-5 |
3 |
3 |
-2 |
2 |
|
ì |
7x + 3y - z = 5 |
ï |
|
5. Доказать совместность системы í6x + 2y - 2z = -6 и найти решение: |
|
ï |
5x - y + 2z =1 |
î |
|
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) в матричном виде.
32
6. Показать, что векторы a1(-2;3;5;-4) , a2 (3;7;9;0), a3 (3;0;-7;0) ,
a4 (-1;2;0;7) образуют базис. Найти разложение вектора b(10;8;-25;-1)
в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество матриц третьего порядка с рациональными элементами?
8.Найти вектор Фробениуса матрицы
æ |
2 |
1 |
0 |
ö |
ç |
1 |
2 |
0 |
÷ |
А = ç |
÷. |
|||
ç |
1 |
1 |
1 |
÷ |
è |
ø |
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(1;3;4) , b(4;0;-5) ,
c(2;1;-2), d(6;12;0) линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
x1 + x2 + 3x3 + 2x4 - 8x5 = 0 |
|
||||
решений данной системы уравнений: |
ï |
2x1 - 2x2 |
+ 2x3 - 7x4 - 3x5 = 0 . |
||||||||||||||
í |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
- x3 - 34x4 +12x5 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î5x1 -11x2 |
||||||
11. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы: |
|
|
|||||||||||||||
F(x , x , x ) = 5x2 |
- 4x x + 8x |
x + 7x2 - x2 . |
|
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì x = 2 - t |
ì 2x - y + 5 = 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
. |
||
12. Найти расстояние между прямыми í y = -1+ t и |
í |
0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
z = 2 |
îx + 2y + 3z -1 = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
||||
13. Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (2;1;0) |
|
|
|||||||||||||||
относительно прямой |
х − 2 |
= |
у +1,5 |
= |
z + 0,5 |
. |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
14.Найти расстояние от точки M (2;0;−1) до плоскости 2x − y + 3z + 5 = 0 .
15.Найти каноническое уравнение кривой
8x2 + 34xy + 8y2 +18x -18y -17 = 0 и построить ее.
33
ВАРИАНТ №5 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в
тригонометрической и показательной форме
2(1+ i |
|
) |
|
|
|
|
3 |
- (1+ i |
|
) . |
|||
3 |
||||||
1- i |
||||||
|
|
|
||||
2.Вычислить по формулам Муавра (1- i) 6 , 3
8 .
3.Разложить многочлен x4 + x3 + 3x2 + 5x -10 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:
|
|
5 |
2 |
-5 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
9 |
-3 |
-7 |
-5 |
-5 |
|
|
|
|
|
-2 |
4 |
2 |
8 |
3 |
|
. |
|
|
|
5 |
3 |
-2 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
-4 |
-3 |
4 |
-6 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
x + 5y - z = -5 |
||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
||
5. Доказать совместность системы í2x - 2y + 3z = 27 и найти решение: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
4x - 5y + 3z = 40 |
||
|
|
|
|
|
|
î |
|||
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы.
6.Показать, что векторы a1(9;7;1;0) , a2 (-8;1;1;-3) , a3 (0;0;4;7) , a4 (0;5;5;5) образуют базис. Найти разложение вектора b(79;67;29;33) в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество векторов в R3 , координаты которых, – целые числа?
æ |
2 |
1 |
0 |
ö |
ç |
1 |
2 |
0 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷. |
|||
ç |
1 |
1 |
5 |
÷ |
è |
ø |
34
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(-2;3;5),
b(1;-3;4) , c(7;8;-1) , d(1;20;1) линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
ì x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 = 0
решений данной системы уравнений:ïí2x1 - x2 - 5x3 + x4 + 3x5 = 0 .
ïî x1 + 3x2 - x3 - 6x4 - x5 = 0
11.Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:
F(x1, x2 , x3 ) = -2x12 + 4x1x2 - 6x1x3 + 4x2 x3 + 2x22 - 2x32 .
|
х |
− |
2 |
= |
у |
+ |
1 |
= |
z |
ìx - y - z -1= 0 |
|
|
12. Найти расстояние между прямыми |
|
|
и í |
|
. |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
2x - 3z + 5 = 0 |
|||||
|
|
|
|
-2 1 |
î |
|
||||||
13.Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (1;1;1) относительно плоскости x + 4y + 3z + 5 = 0
14.Найти расстояние от точки M (1;1;1) до плоскости x + 4y + 3z − 5 = 0
15.Найти каноническое уравнение кривой
5x |
2 |
+12xyу+10 |
2 |
-1 = 0и построить ее. |
|
x - 6y + 4 |
ВАРИАНТ №6 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в
2i(1- i
3)
тригонометрической и показательной форме ( ) . 
3 - i
2.Вычислить по формулам Муавра ( -1+ i) 6 , 4
81.
3.Разложить многочлен x4 - x3 + 3x2 - 5x -10 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
35
|
|
5 |
9 |
-2 |
-4 |
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
-3 |
4 |
-3 |
3 |
|
|
4. Вычислить, пользуясь свойствами определителей: |
|
5 |
7 |
-2 |
-4 |
2 |
|
. |
|
|
4 |
-5 |
8 |
-6 |
8 |
|
|
|
|
6 |
-5 |
3 |
-3 |
7 |
|
|
ìx - 7y - 3z = -5
Доказать совместность системы ï2x - 6y - 2z = 6 и найти решение:
5. í
ïî 2x + 5y - z =1
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы. 6. Показать, что векторы a1(9;-7;1;0) , a2 (8;1;-1;3) , a3 (0;-5;5;5) ,
a4 (0;0;4;7)образуют базис. Найти разложение вектора b(79;-67;29;33)
в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество диагональных матриц третьего порядка с рациональными элементами?
æ |
3 |
1 |
0 |
ö |
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷ . |
|||
ç |
5 |
8 |
2 |
÷ |
è |
ø |
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(4;3;1) , b(5;0;-4),
c(2;1;-2), d(0;12;6) линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
ì |
|
x1 - x2 - x3 - x4 + x5 = 0 |
||||
ï |
|
- x2 + 2x3 - 2x4 + 2x5 = 0. |
||||
решений данной системы уравнений:íx1 |
||||||
ï |
2x - 2x - 5x - x |
4 |
+ x = 0 |
|||
î |
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
11. |
Выяснить знакоопределенность квадратичной формы: |
|
|
|||||||||||||
|
F(x , x , x ) = -4x2 |
+ 4x x |
2 |
- 4x x + 4x x + x2 - 4x2 . |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì x = 3 - t |
|
ì2x - y + z +1 = 0 |
|
||||
12. |
Найти расстояние между прямыми |
ï |
|
|
и |
. |
||||||||||
í y = -1+ t |
í |
+ y - 2z +1 |
= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
z = 3 |
|
îx |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
36
13. Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (−1;0;−1)
относительно прямой |
х |
= |
у −1,5 |
= |
z − 2 |
. |
-1 |
0 |
1 |
14.Найти расстояние от точки M (−1;0;−1) до плоскости
2x − 2y + 3z − 5 = 0 .
15.Найти каноническое уравнение кривой xy + 2x + y = 0 и построить ее.
ВАРИАНТ №7 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной форме
(-2 + i) 2 ×i - 2i16 . 3 + i
2.Вычислить по формулам Муавра ( i - 
3)6 , 3
-64 .
3.Разложить многочлен x4 - x3 - 4x2 - 2x -12 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:
2 |
-3 |
5 |
-2 |
1 |
|
|
|||||
3 |
2 |
5 |
-4 |
-3 |
|
-2 |
3 |
-4 |
2 |
-3 |
. |
-6 |
-4 |
-7 |
8 |
1 |
|
2 |
-1 |
7 |
1 |
5 |
|
ìx - 2y - 3z = -11
Доказать совместность системы ï x + 3y + 5z = 20 и найти решение:
5. í
ïî 2x + 4y + z =16
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы.
37
6.Показать, что векторы a1(-1;4;0;3) , a2 (5;1;-2;5) , a3 (3;1;-3;0) , a4 (-2;-7;1;-4) образуют базис. Найти разложение вектора
b(18;9;-13;13) в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество квадратных трехчленов с D > 0 ?
æ |
5 |
1 |
1 |
ö |
ç |
0 |
4 |
1 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷. |
|||
ç |
0 |
1 |
4 |
÷ |
è |
ø |
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(-2;4;-6) ,
b(-1;3;5) , c(0;-3;7), d(-3;2;52) линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
ì |
x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = 0 |
||||
ï |
+ 2x2 |
- 2x3 - x4 - 2x5 = 0. |
|||
решений данной системы уравнений: íx1 |
|||||
ï2x + x |
2 |
+ 5x - 2x |
4 |
- x = 0 |
|
î |
1 |
3 |
5 |
||
11. |
Выяснить знакоопределенность квадратичной формы: |
|
||||||||||||||||||
|
F(x , x , x ) = 5x2 |
+ 4x x - 8x x +13x2 |
+ 5x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
− |
2 |
= |
у |
+ |
3 |
= |
z |
|
ì 2x - z + 5 = 0 |
|
12. |
Найти расстояние между прямыми |
|
|
и í |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
-1 |
= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx - y + z - 6 |
|||||
.
13.Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (1;0;1)
относительно плоскости 4x + 6y + 4z − 25 = 0.
14.Найти расстояние от точки M (1;0;1) до плоскости 4x + 6y − z + 5 = 0 .
15. Найти каноническое уравнение кривой x2 - xyу+ 2x+ y+ = 0 и построить ее.
ВАРИАНТ №8
38
1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в
тригонометрической и показательной форме (1- 3(i) (1+)3i) - 2i18 .
-i 3 + i
2.Вычислить по формулам Муавра: ( -2 + 2i)10 , 6
-64 .
3.Разложить многочлен x4 + x3 - 4x2 + 2x -12 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:
3 |
4 |
-3 |
-1 |
-2 |
|
|
|||||
-5 |
6 |
5 |
2 |
3 |
|
-4 |
9 |
3 |
-7 |
5 |
. |
-1 |
-4 |
1 |
1 |
-2 |
|
-3 |
7 |
5 |
2 |
1 |
|
ì 5x - 3y + 2z =10
Доказать совместность системы ï 5x - 2y + 3z =15 и найти решение:
5. í
ïî-4x + 5y + 3z =11
а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы. 6. Показать, что векторы a1(3;-7;5;0), a2 (-3;0;7;0) , a3 (2;3;-5;4) ,
a4 (1;2;0;7) образуют базис. Найти разложение вектора b(6;-4;14;22) в этом базисе. Сделать проверку.
7.Образует ли линейное пространство множество многочленов третьей степени?
æ |
3 |
0 |
2 |
ö |
ç |
5 |
4 |
6 |
÷ |
8. Найти вектор Фробениуса матрицы А = ç |
÷ . |
|||
ç |
2 |
0 |
3 |
÷ |
è |
ø |
9.Исследовать по определению, являются ли векторы a(4;3;1) , b(5;0;-4), c(2;1;-2), d(0;12;6) линейно зависимыми?
39
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему
|
|
|
|
|
|
|
|
ì 3x1 - x2 - 2x3 - x4 + x5 = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
2x1 - x2 + 3x3 - x4 + 2x5 = 0 . |
|||||||
решений данной системы уравнений:í |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î5x1 - 2x2 + x3 - 2x4 + 3x5 = 0 |
||||||||
11. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы: |
|
|
||||||||||||||
F(x , x , x ) = 5x2 |
- 4x x - 2 |
|
x x + 4 |
|
x x + 4x2 |
+ 2x2 . |
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx = 2 + 2t |
|
ìx - y - z + 5 = 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
= -1+ t |
и |
. |
||||
12. Найти расстояние между прямыми í y |
í |
= 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
z = 3t |
|
î x + 2y - 6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|||
13.Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (3;3;3)
относительно прямой х −1 = у −1,5 = z − 3 . -1 0 1
14.Найти расстояние от точки M (1;2;1) до плоскости x − 2y + 3z + 1 = 0 .
15.Найти каноническое уравнение кривой -3у2 + 4xy - 4x +10y - 6 = 0 и построить ее.
ВАРИАНТ №9 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в
тригонометрической и показательной форме (1+ i
3)2 . 2i9
æ i -1 |
ö6 |
|
|
|||
|
|
|||||
2. Вычислить по формулам Муавра ç |
|
|
÷ |
, 3 |
-8i . |
|
è |
2 |
|
ø |
|
|
|
3.Разложить многочлен x4 + x3 - 3x2 + 3x -18 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
40