Решение

Активность радиоактивного изотопа равна числу ядер, распавшихся за единицу времени

m₂ =1,00^.10^–6кг,

а₁=а₂=а.

m₁=?

а = –dN/ dt, (1)

где N–число нераспавшихся ядер в момент времениt. Знакминусозначает, что числоNуменьшается. Используем закон радиоактивного распада (22Ф)

N=N₀e ^{– λt} , (2)

где N₀–первоначальное число ядер в момент времениt=0; λ–постоянная радиоактивного распада, выражается через период полураспадаT(см. (24Ф))

λ =ln2/T. (3)

Продифференцируем уравнение (2) и полученный результат подставим в (1)

а= N₀λe^{– λt},

или с учетом (2) имеем

а=λN. (4)

Число нераспавшихся ядер Nможно выразить через массу изотопаm, постоянную АвогадроN_Aи молярную массуM

N =mN_A/M. (5)

Подставляя (3) и (5) в (4), получим:

По условию задачи активность уранаа₁ равна активности стронцияа_2.Тогда, используя (6), имеем:

откуда найдем искомую массу стронция

(7)

Подставляя сюда, взятые из таблиц периоды полураспада и молярные массы урана (T₁, M₁) и стронция (Т₂, М₂), получим ответ:

m₁=435 кг.

Пример 14.Найти энергетический выход (тепловой эффект) реакции¹⁰B(n, α)⁷Li, протекающей в результате взаимодействия медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора. Найти также кинетические энергии продуктов реакции.

Решение

В развернутом виде заданная реакция запишется

(1)

В соответствии с этой реакцией покоящееся ядро бора поглощает медленный нейтронполучившееся ядро испускает α-частицу (ядро гелия), и превращается в ядро литияЭнергетический выход реакцииQ находится из формулы (32Ф)

Q=(m₁+ m₂ – m₃– m₄)c². (2)

В нашей задаче m₁=m_B–масса атома бора;m₂= m_n–масса нейтрона;m₄ = m_He–масса атома гелия; m₃ = m_Li –масса лития. Тогда (2) запишется:

Q=(m_B+m_n–m_Li –m_He)c². (3)

Если массы атомов и частиц в этом уравнении выразить в атомных единицах массы (а. е. м.) и воспользоваться соотношением c²=931 МэВ/а. е. м., то энергетический выход реакции будет выражен в МэВ. Используя табличные данные, из (3) получим:

Q =2,80 МэВ.

Для нахождения кинетической энергии продуктов реакции (1) необходимо учесть, что покоящееся ядро бора взаимодействует с медленным нейтроном. Следовательно, кинетической энергией этих частиц можно пренебречь, и в соответствии с законом сохранения энергии, энергетический выход реакции Qбудет равен сумме кинетических энергий продуктов реакции

E_Li+E_He =Q. (4)

Суммарный импульс частиц до реакции равен нулю, т. к. ядро бора покоилось, а нейтрон медленный. Следовательно, суммарный импульс частиц после реакции также равен нулю

р_{Li +} р_{He = 0.}

Отсюда следует, что импульсы частиц направлены в противоположные стороны и равны по модулю

р_Li= р_He. (5)

Ядра лития и гелия считаем нерелятивистскими (v<< c) , следовательно, их импульсы равны

где m_Li,m_He–массы ядер лития и гелия, которые с достаточной для нас точностью равны массам соответствующих атомов. Используя (5), получим:

m_Li E_Li = m_He E_He . (6)

Из уравнений (4), (6) найдем искомые энергии

Округляя массы ядер (или атомов) m_Li ,m_He , взятые из таблицы, до целых чисел и, используя найденное значениеQ, получим числовые значения кинетических энергий:

E_Li =4Q/11=1,02 МэВ,

E_He= 7Q/11=1,78 МэВ.

Пример 15.Найти полезную мощностьP_полатомной электростанции, расходующей за сутки уран²³⁵Uмассойm=0,10 кг, если к. п. д. электростанции η=16%. Энергия, выделяемая при распаде одного ядра урана,E₀=200 МэВ.