Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сербо В. Г. Лекции по физике элементарных частиц

.pdf

Скачиваний:

234

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

B. Уравнение Клейна Фока Гордона (КФГ)

В релятивистской теории операторы

i~ ∂

pˆ0 = c ∂t è pˆ = −i~r

образуют 4-мерный вектор

pˆµ = i~

1 ∂

, −r ≡ i~∂µ.

c ∂t

Уравнение Шр¼дингера

Ψ(t, r) = 2m pˆ

− cA + eφ

cpˆ0

Ψ(t, r)

и уравнение Паули

cpˆ0 Ψ(t, r) =	2m σ pˆ		− cA
	1		e	2

+ eφ Ψ(t, r)

не является релятивистски ковариантными уравнениями, компоненты pˆµ входят в них явно несимметричным образом: эти уравнения содержат первые степени оператора pˆ0 и вторые степени оператора pˆ. Простейшие релятивистские обобщения этих уравнений можно получить двумя способами:

1)потребовав, чтобы в уравнение входила вторая степень оператора pˆ0 (â ýòîì ñëó- чае мы прийд¼м к уравнению Клейна Фока Гордона);

2)потребовав, чтобы в уравнение входила первая степень оператора pˆ (в этом случае

мы прийд¼м к уравнению Дирака).

Классическое соотношение для компонент 4-импульса релятивистской частицы 5

	e		µ	e
p −		A		p −		A µ	= m2c2 ,
	c				c

ãäå Aµ = (A0(t, r), A(t, r)) 4-потенциал электромагнитного поля и A0(t, r) ≡ φ(t, r)

скалярный потенциал, соответствует релятивистскому волновому							уравнению Клейна
Фока Гордона (1926	− 1927 ã.)			− −i~r − cA # Ψ(t, r) = m2c2
" i c	∂t − c A0		2			Ψ(t, r) .		(B.1)
~		e		e	2
Cвободному движению частицы с определенным 4-импульсом							pµ = (E/c, p) ñîîò-
ветствует плоская волна
		Ψ(x) = N e−i(Et−pr)/~ = N e−ipµxµ/~ .						(B.2a)

5Здесь и ниже по повторяющимся индексам 4-векторов подразумевается суммирование, т. е. выражение AµBµ означает AµBµ ≡ A0B0 − AxBx − AyBy − AzBz = A0B0 − AB. Мы нередко будем

использовать сокращенное обозначение AB ≡ AµBµ.

Если подставить эту волновую функцию в уравнение (1) с Aµ = 0, то найдем естественную связь между энергией и импульсом

E2 = m2c4 + p2c2 ,

которой соответствует закон дисперсии, т. е. зависимость энергии от импульса, вида

E(p) = ±εp , εp = +c m2c2 + p2 .

Отложим обсуждение двух возможных знаков ± в этом выражении до D.

Релятивистское уравнение КФГ оказалось уравнением второго порядка по времени. Это приводит к следующему принципиальному отличию от нерелятивистской квантовой механике, основанной на уравнении Шр¼дингера уравнении первого порядка по времени. Один из постулатов квантовой механики интерпретация квадрата модуля волновой функции как плотности вероятности:

ρ(r, t) = Ψ(r, t) Ψ(r, t) .

Эта плотность вероятности и плотность тока вероятности

	1				e
j =		Ψ	−i~r −				A Ψ + êîìï. cîïð.	(B.3)
j =	2m	Ψ	−i~r −			c	A Ψ + êîìï. cîïð.	(B.3)
связаны уравнением непрерывности
				∂%	+ rj = 0 ,			(B.4)

				∂t

из которого следует, что условие нормировки

ρ(r, t) d3r = 1

не изменяется с течением времени.

Подобная интерпретация невозможна для волновой функции уравнения КФГ, так как для не¼ интеграл R Ψ(r, t) Ψ(r, t) d3r не сохраняется с течением времени. Естествен-

ным релятивистским обобщением 3-вектора (3) является 4-вектор

jµ = nΨ	i~∂µ − cAµ		Ψ +	i~∂µ Ψ − cAµΨ		· Ψo .	(B.5)
		e			e

Легко проверит, используя уравнение КФГ, что компоненты этого 4-вектора удовлетворяют уравнению непрерывности

∂µjµ = 0 ,

(B.6)

эквивалентному уравнению (4). Это означает, что роль плотности вероятности должна играть нулевая компонента вектора jµ, ò. å.6

ρ = c0		= c nΨ i~∂0	− cA0		Ψ +	i~∂0	Ψ − cA0Ψ		· Ψo .	(B.7)
	j	1		e				e

6Для плоской волны (2a) с энергией E(p) = +εp плотность вероятности ρ = 2εp|N|2, поэтому при нормировке на одну частицу в объ¼ме V,

ρ d3r = 2εp|N|2 V = 1 ,

амплитуда плоской волны равна
1
N ≡ Np =			.	(B.2b)
	p
		2εpV

jµ инвариантны относительно калибровочного преобра-

может быть отрицательной

Однако эта величина не является положительно определ¼нной! Мы покажем ниже, что в квантовой теории поля 4-вектор jµ играет роль не плотности тока вероятности, но

плотности тока заряженных частиц, а в этом случае j0 величиной.

Уравнение КФГ и 4-вектор зования

Aµ → Aµ − ∂µf(x), Ψ → Ψ eief(x)/~c ,

(B.8)

ãäå f(x) произвольная функция x = (ct, r).

Обсудим нерелятивистский предел p2 m2c2 уравнения КФГ. В этом случае

E = mc2 + p2 − (p2)2 + . . . .

2m 8m3c2

Рассмотрим движение нерелятивистской частицы в потенциальном поле U(r). Релятивистская поправка к нерелятивистскому оператору Гамильтона

ˆ		pˆ2
H0	=		+ U(r)
		2m

возникает из-за изменения закона дисперсии. Соответствующее возмущение равно

ˆ	(pˆ2)2
V = −		.
	8m3c2

В кулоновской задаче (при U(r) = −e2/r ) эта поправка снимает вырождение по l в спектре и приводит к тонкой структуре уровней. Возникающая поправка к энергии

Enl = hnl| Vˆ |nli = −2mc2 *nl 2m

nl+

pˆ2

может быть переписана с учетом

pˆ2

|nl i = En |nl i

= H0

, H0

â âèäå

−2mc2

− 2~2 n3

l + 21 − 4n

me4 α2

Enl =

(B.9)

n = 3

l = 1

l = 0

n = 2

l = 0

} n = 1

Тонкая структура уровней атома водорода согласно (B.9).

Здесь

α = e2 ≈ 1

~c 137

безразмерная константа, постоянная тонкой структуры. Однако реальный спектр атома водорода отличается от этого спектра. Причина в том, что уравнение КФГ не учитывает спин электрона.

C. Уравнение Дирака

C.1. Симметричная форма уравнения Дирака

В нерелятивистской квантовой механике спин электрона учитывается в уравнении Паули (см. (A.1), (A.2)), которое мы представим в форме

σ0 (cpˆ0	− eA0) − 2m hσ pˆ		− cAi		Ψ(t, r) = 0 ,
	1		e	2

ãäå σ0 единичная матрица. Естественное релятивистское обобщение уравнения Паули выглядит так:

γ0	pˆ0	− cA0		− γ pˆ − cA − m2c2				Ψ(x) = 0,	(C.1)
h			e		e	i	2

ãäå γµ = (γ0, γ) некоторые матрицы, а x = (ct, r) 4-радиус-вектор. Представим оператор второго порядка {. . .} в левой части уравнения (1) в факторизованном виде

e				e
{. . .} = hγµ i~∂µ −		Aµ	+ mci hγµ i~∂µ −		Aµ − mci .
	c			c

Функция Ψ(x) удовлетворяет уравнению (1), если она является решением уравнения

первого порядка	e
	e
	hγµ i~∂µ − cAµ − mci Ψ(x) = 0 .	(C.2)

Это и есть уравнение Дирака (1928 г.). Конечно, все предыдущее не вывод, а лишь наводящие соображения. Мы постулируем уравнение Дирака в виде (2), а справедливость его подтверждается соответствием следствий из него эксперименту.

Отметим сразу же основное свойство матриц γµ. Решение уравнения Дирака для свободной частицы

(γµpˆµ − mc) Ψ(x) = 0	(C.3)
удовлетворяет также уравнению (1) (при Aµ = 0), которое мы перепишем в форме
(γµpˆµ + mc) (γνpˆν − mc) Ψ(x) = 0 .	(C.1a)

Чтобы сохранить обычную связь между энергией и импульсом, E2 = (p2 + m2c2)c2, естественно потребовать, чтобы уравнение (1a) совпадало с уравнением Клейна Фока Гордона (ˆpµpˆµ − m2c2) Ψ(x) = 0. Отсюда следует, что

γµγν + γνγµ = 2gµνI .

(C.4)

Сколько компонент у волновой функции Ψ(x)? При выяснении этого вопроса важную роль играет инвариантность уравнения Дирака относительно отражений пространственных осей или P -инвариантность.

При повороте на угол ω вокруг оси n преобразование 2-компонентного спинора ϕ имеет вид (A.3)

ϕ0

= exp

ωσn

ϕ = [ cos(ω/2) + i σn sin(ω/2) ] ϕ .

(C.5a)

Оператор поворота

-инвариантность, так как и спин (соб-

ственный момент

не нарушает

ˆs = σ/2, и ось поворота n аксиальные векто-

exp

ωσn

импульса электрона)

ры, а потому произведение σn истинный скаляр.

Преобразование Лоренца вдоль оси x со скоростью V имеет вид

x0 = x ch ω − ct sh ω , ct0

(V/c)

= ct ch ω − x sh ω , ch ω =

, sh ω =

1 − (V/c)2

и соответствует гиперболическому повороту в плоскости x, ct, а соответствующее преобразование спинора может быть получено заменой ω → iω в уравнении (5a), ÷òî äà¼ò

ϕ0 = exp −12 ωσx ϕ ,

где быстрота ω определяется соотношением th ω = V/c. В случае преобразования Лоренца, задаваемого произвольным вектором скорости V, имеем

ϕ0

1 ωσ

ϕ = [ ch (ω/2)

σn sh (ω/2) ] ϕ , n =

, th ω =

(C.6)

= exp

−2

нарушает

−

Оператор exp

−21 ωσn

P -инвариантность, так как скорость V = V n ïî-

лярный

вектор, и следовательно

σn псевдоскаляр, изменяющий знак при отражении

координат.

Поэтому для сохранения P -инвариантности уравнения Дирака приходится вводить второй спинор χ с другим, чем у ϕ поведением при отражении координат. Если

ˆ	ˆ	(C.7a)
P ϕ(t, r) = ηP ϕ(t, −r) , P χ(t, r) = −ηP χ(t, −r) ,

ãäå ηP фазовый множитель, то преобразование вида

ϕ0 = ϕ ch (ω/2) − σn χ sh (ω/2) , χ0 = χ ch (ω/2) − σn ϕ sh (ω/2) (C.8a)

сохраняет P -инвариантность. Двухкомпонентные спиноры ϕ è χ объединяются в 4- компонентный спинор, или биспинор

Ψ(x) =	ϕ(x)	,
	χ(x)

для которого преобразование (5a), соответсвующее повороту, имеет вид

Ψ0	= exp	i	ωΣn Ψ = [ cos(ω/2) + i Σn sin(ω/2) ] Ψ ,	(C.5b)
		2
а формула (8a), соответствующая преобразованию Лоренца, имеет вид
Ψ0	= exp −21 ωαn Ψ = [ ch(ω/2) − αn sh(ω/2) ] Ψ ,			(C.8b)

66 где матрицы

Σ =	0 σ	, α =	σ 0	(C.9)
	σ 0		0 σ

являются эрмитовыми и удовлетворяют соотношениям

ΣjΣk = I δjk + iεjkn Σn , αjαk + αkαj = 2I δjk .

Преобразование (7a), соответствующее отражению пространственных координат, может быть записано в виде

ΨP (x) ≡ Pˆ Ψ(t, r) = ηP UP Ψ(t, −r) , UP = UP−1 =	0 −I .	(C.7b)
	I 0

Íàéä¼ì 4 × 4 матрицы γµ, рассматривая для простоты уравнение Дирака для свободной частицы (3). При отражении координат оператор pˆ0 не изменяется, а оператор pˆ изменяет знак. Если в уравнении Дирака (γ0pˆ0 − γpˆ − mc) Ψ(t, r) = 0 провести замены

pˆ → −pˆ, Ψ(t, r) → Ψ(t, −r) = ηP−1UP ΨP (x), соответствующие P -отражению, то получим уравнение

(γ0pˆ0 + γpˆ − mc) UP ΨP (x) = 0 .

Таким образом, чтобы функция ΨP (x) удовлетворяла тому же уравнению, что и функ- öèÿ Ψ(x), матрицы γµ должны удовлетворять условиям

UP γ0 = γ0UP , UP γ = −γUP .

Ясно поэтому, что можно выбрать

I 0

γ0 = UP = − .

0 I

Èç UP γ + γUP = 0 следует, что

γ = 0 B ,

а соотношение

γmγn + γnγm = −2δmn I ; m, n = x, y, z

удовлетворяется, если выбрать Bn = −Cn = σn, ãäå σn матрицы Паули. Итак7,

γ0	=		0	−I	,	γ =	−0σ 0	.	(C.10)
			I	0			σ

C.2. Релятивистская ковариантность уравнения Дирака

Пусть при произвольном преобразовании Лоренца 4-радиус вектор xµ преобразуется по

закону

x0µ = Λµν xν ,

7Наш выбор соответствует так называемому стандартному представлению . Возможны и другие выборы матриц Дирака, получаемые из стандартного при преобразовании γµ → UγµU−1, ãäå U

унитарная матрица.

а соответсвующее преобразование биспинора Дирака зада¼тся матрицей U:

Ψ0(x0) = U Ψ(x) .

Чтобы доказать релятивистскую ковариантность уравнения Дирака, достаточно пока- зать, что найденные выше операторы γµ преобразуются как 4-векторы, то есть преобразованный оператор U−1γµU удовлетворяет соотношению (ср. с обсуждением преоб-

разования оператора σ относительно поворотов в A.3)

U−1γµU = Λµν γν .

(C.11)

Это легко проверить непосредственно для поворотов, когда U = exp

ωΣn

, è äëÿ

простого преобразования Лоренца, когда U = exp

21 ωα n

−

. Ïðè ýòîì2 оказываются

полезными соотношения

Σ γ0 = γ0 Σ ,

α γ0 = −γ0 α = −γ ,

(C.12)

−γkΣj

ïðè

j = k ,

−γ0

ïðè

j = k .

Σjγk =

−γkΣj = iεjklγl

ïðè

j 6= k

αjγk

γkαj

ïðè

6= k

Значит, уравнение (11) справедливо и для общего случая, который всегда можно рассматривать как комбинацию этих двух простых преобразований.

Назовем функцию

Ψ(x) ≡ Ψ+(x)γ0

дираковски сопряженной функции Ψ(x). Она преобразуется по закону

Ψ0(x0) = Ψ+(x) U+γ0 ,

причем, для поворотов (5b), когда U = exp 2i ωΣn , и для простого преобразования Лоренца (8b), когда U = exp −12 ωαn , из (12) следует, что

U+γ0 = γ0U−1 .

Значит, и в общем случае дираковски сопряженная функция преобразуется по закону

Ψ0 = Ψ U−1 ,

откуда видно, что величина

Ψ Ψ = ϕ+ϕ − χ+χ

преобразуется по закону

Ψ0 Ψ0 = Ψ Ψ ,

т. е. является скаляром, а величина Ψ γµΨ преобразуется по закону

Ψ0 γµ Ψ0 = Λµν Ψ γν Ψ ,

т. е. является 4-вектором. Аналогично, можно показать, что величины Ψ γµγνΨ является 4-тензором второго ранга, а величины Ψ γ5Ψ è Ψ γ5γµΨ, ãäå

	−			−I	0
γ5 =		iγ0	γxγyγz =	0	−I	,	(C.10a)

преобразуются как псевдоскаляр и аксиальный 4-вектор соответственно.

C.3. Плотность тока

Дираковски сопряженная функция удовлетворяет уравнению

e
−i~∂µ − cAµ Ψ(x) γµ − mc Ψ(x) = 0 .	(C.13)

Домножим это уравнение справа на Ψ(x) и вычтем из уравнения (2), домноженного

слева на Ψ(x), тогда получим уравнение

∂µ Ψ(x) γµ Ψ(x) + Ψ(x) γµ ∂µ Ψ(x) = 0 ,

которое можно переписать в виде закона сохранения 4-мерного тока. Если ввести 4- мерную плотность тока

jµ(x) = c Ψ(x) γµ Ψ(x) ,

(C.14)

то она будет удовлетворять уравнению непрерывности

∂µjµ(x) = 0 .

Для дираковской частицы плотность вероятности

%(x) = j0(x)/c =
	Ψ(x)γ0Ψ(x) = Ψ+(x)Ψ(x)		(C.15)

является положительно определенной функцией. Плотность 3-мерного тока равна

j(x) = c
	Ψ(x) γΨ(x) = c Ψ+(x)αΨ(x) ,		(C.16)

где эрмитовы матрицы α = γ0γ определены в (9). Уравнение Дирака и плотность дира-

ковского тока, разумеется, инвариантны относительно калибровочного преобразования (4.8).

C.4. Зарядовое сопряжение и отражение времени

Рассмотрим еще свойство уравнения Дирака относительно C (зарядовое сопряжение) преобразования. Если функция Ψ(x) удовлетворяет уравнению (2), то легко проверить, что функция

ΨC (x) = C
	Ψ(x) , C = γyγ0 = −αy		(C.17)

соответствует зарядово-сопряженной частице, т. е. удовлетворяет уравнению

e
hγµ i~∂µ + cAµ − mci ΨC (x) = 0 ,	(C.2b)

которое отличается от уравнения (2) для Ψ(x) лишь знаком заряда e.

Аналогично, если функция Ψ(x) удовлетворяет уравнению (3), то легко проверить, что функция

ΨT (t, r) = UT
	Ψ(−t, r) , UT = iγzγxγ0		(C.18)

удовлетворяет тому же уравнению. Наконец, укажем, что действие тр¼х преобразований C, P è T определяется соотношением:

−	−			−		−I	0
ΨCP T (t, r) = iγ5Ψ( t,		r) , γ5	=	iγ0	γxγyγz =	0	−I	.	(C.19)

Естественно, однако, что сохраняется полный момент

C.5. Гамильтонова форма уравнения Дирака

Умножив уравнение (2) на γ0 слева, получим уравнение Дирака в гамильтоновой форме

i~	∂Ψ		ˆ	ˆ	2		+ eA0 , pˆ = −i~r .
i~	∂t		= H Ψ,	H = α(cpˆ	− eA) + mc	γ0	+ eA0 , pˆ = −i~r .	(C.20)

Отсюда оператор скорости равен

vˆ =

[H, r] = c α ,

а операторное уравнение движения во внешнем поле

pˆ −

A = eE + eα × B

является аналогом классического уравнения движения

= eE + e

× B .

1 (v/c)2

В центральном поле (при Ap=−0, eA0 = U(r)) орбитальный момент

ñïèí

ˆs = 2 Σ =

0 σ

σ 0

(C.21)

ˆl = r × pˆ/~ è

в отдельности не сохраняются:

ˆ		i		c
dl			ˆ ˆ		α × pˆ,
dt	=	~	[H, l] =	~

dˆs			i	ˆ	c
dt		=	~	[H, ˆs] = −	~		α × pˆ .

ˆ ˆ ˆ

j = l + s,

dj i ˆ ˆ

dt = ~[H, j] = 0 .

Рассмотрим теперь свободный электрон в состоянии с определенным импульсом p. В этом случае гамильтониан

ˆ	2	γ0
H = cαp + mc

также, вообще говоря, не коммутирует с оператором спина,

ˆ	(C.22)
[H, ˆs] = i c α × p .

Однако последняя формула подсказывает два возможных исключения.

1. Åñëè p → 0 (что справедливо в системе покоя электрона), то правая часть уравнения (22) обращается в нуль

ˆ	(C.23)
[H, ˆs] = 0 ïðè p → 0 .

Таким образом, спиновое состояние свободного электрона можно описывать, задавая определенное значение σ = ±1/2 оператора sˆz в системе покоя электрона.

2. Если умножить уравнение (22) скалярно на вектор p, то правая часть полученного

соотношения также обратится в нуль. Поэтому оператор спиральности ˆ Λ (проекции

спина на направление импульса электрона) коммутирует с гамильтонианом

ˆ	ˆ	ˆ	·	p
[H, Λ] = 0 ,		Λ = ˆs	·	\|p\|	.	(C.24)
Собственные значения оператора	ˆ
	Λ равны λ = ±1/2, а его собственные состояния на-

зываются спиральными состояниями.

D. Свободное движение дираковской частицы

Cвободному движению частицы с определ¼нным 4-импульсом p соответствует плоская волна8

Ψ(x) = u(p) e−ipx , p x ≡ pµxµ = Et − pr ,	(D.1)
где биспинор u(p) удовлетворяет системе алгебраических уравнений
(γµpµ − m) u(p) = 0 .	(D.2)

Для двухкомпонентных спиноров ϕ(p) è χ(p), через которые выражается биспинор

ϕ(p) u(p) = u(E, p) = ,

χ(p)

получаем систему уравнений

(E − m) ϕ − σp χ = 0 , σp ϕ − (E + m) χ = 0 .

Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, то есть если E2 = p2 + m2. Введ¼м арифметический, положительный корень

ε = + p2 + m2 . (D.3)

Существуют две возможности: 1. Энергия положительна:

E = +ε , χ =	σp	ϕ .
	ε + m

При нормировке

ϕ+ϕ = 1 , uu¯ = 2m

получаем биспинор

u(ε, p) ≡ up =			, Aˆ = √ε + m = √ε − m σn ,		(D.4a)
u(ε, p) ≡ up =		Aˆ ϕ	, Aˆ = √ε + m = √ε − m σn ,		(D.4a)
	√ε + mϕ			σp

ãäå n = p/|p|, ïðè ýòîì

u¯p up = 2m , u¯p γµ up = 2pµ .					(D.4b)
2. Энергия отрицательна:
			ˆ
E =	−	ε, u( ε, p) =	−A χ	.
	−	−	√ε + m χ

Четыре компоненты волновой функции соответствуют двум возможным ориентациям спина при двух возможных знаках энергии. Исключить состояния с отрицательной энергией нельзя, так как в квантовой механике возможны переходы между состояниями. Дирак постулировал, что уровни с отрицательной энергией заполнены. Тогда переходов на них нет в силу принципа Паули. Дырка в дираковском море ведет себя как

8Здесь и ниже (за исключением F.1) полагаем ~ = 1, c = 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.2019218.62 Кб6Семинар (кроме 2 задачи).doc
#
09.09.2019250.37 Кб2семинар на 08.05.doc
#
04.09.2019105.98 Кб1семинар на 24.04.doc
#
25.11.2019218.62 Кб1семинары 23 гр на 2012-13.doc
#
13.11.2018100.86 Кб1Семинары КПЗС 2011.doc
#
28.03.20161.07 Mб234Сербо В. Г. Лекции по физике элементарных частиц.pdf
#
09.12.2018113.15 Кб1сз для 32 гр 2011-12 уч год.doc
#
16.09.20192.21 Mб54сибирь.doc
#
21.09.2019109.57 Кб3Синонимия.doc
#
28.08.2019152.58 Кб13Система Концевича и хангыль.doc
#
26.10.2018121.34 Кб7Ситуационые задачи для специалистов.doc