Сербо В. Г. Лекции по физике элементарных частиц

11

В итоге вместо разложения в интеграл Фурье (1) возникает разложение в ряд Фурье

k

где новые амплитуды Ak(t) удовлетворяют тем же соотношениям (2)−(3), что и раньше.

Разложение, подобное (5), можно написать и для электрического и магнитного поля, причем амплитуды этих полей в силу уравнений

E = −1c ∂∂tA , B = r × A

связаны с амплитудами векторного потенциала соотношениями

Ek = iωck Ak , Bk = ik × Ak .

Из-за условия div A(t, r) = 0 èëè

вектор Ak лежит в плоскости, ортогональной волновому вектору k, т. е. имеет лишь две независимые компоненты. Две степени свободы осциллятора соответствуют поперечности свободных электромагнитных волн в вакууме. Введем два вектора поляризации ekλ,

где индекс λ пробегает два значения. Например, для циркулярной поляризации при волновом векторе вдоль оси z, òî åñòü ïðè k = (0, 0, k), вектор поляризации выбирают в

ãäå λ = ±1 соответствует правой (левой) циркулярной поляризации. Векторы поляризации удовлетворяют условиям поперечности:

взаимной ортогональности:

X

λ

(здесь i, j означает компоненты вектора поляризации; справа стоит единичный тензор в плоскости, ортогональной вектору k). Разложим вектор Ak(t) по векторам поляризации

X

Ak(t) = Ck akλ(t) ekλ

λ

и выберем нормировочный множитель Ck таким образом, чтобы энергия поля свелась к сумме осцилляторных энергий:

kλ

13

2.2. Квантование поля

Напомним, что при квантовании обычного осциллятора зависящие от времени класси- ческие величины a(t) è a (t) становятся операторами уничтожения aˆ и рождения aˆ+

кванта с энергией ~ω, для которых справедливы перестановочные соотношения

При этом сами операторы в обычном шр¼дингеровском представлении не зависят от времени, а временная зависимость определяется волновыми функциями. Классический

гамильтониан H становится оператором Шр¼дингера

ãäå nˆ оператор числа квантов, собственные значения которого суть целые числа n = 0, 1, 2, . . .

Аналогично, при квантовании электромагнитного поля величины akλ(t) è akλ(t) ñòà- новятся операторами рождения aˆ+kλ и уничтожения aˆkλ кванта, соответствующего фо-

тону с энергией ~ωk, импульсом ~k и поляризацией λ , а векторный потенциал (10) становится не зависящим от времени оператором

а выражения для энергии и импульса электромагнитного поля становятся суммами операторов Шр¼дингера и операторов импульса для отдельных фотонов:

При использовании перестановочных соотношений

ãäå nˆkλ оператор числа квантов, собственные значения которого суть целые числа nkλ = 0, 1, 2, . . .. Можно показать, что правая (левая) циркулярная поляризация фотона соответствует его спиральности 1, равной ±~.

1Напомним, что спиральность частицы есть проекции е¼ полного момента импульса на направление импульса частицы.

15 фотонов с энергией ~ωk, импульсом ~k и поляризацией λ. Отметим, что волновая функ-

соответствует нормировке на одну частице во всем объеме V. Такую же нормировку мы будем использовать и при квантовании скалярного и спинорного полей.

3. Лагранжев подход в теории поля

3.1. Уравнения Лагранжа

В классической механике функция Лагранжа qi и обобщ¼нных скоростей q˙i = ∂0qi, а действие

Z t2

S = L (q, q˙) dt .

t1

Из принципа Гамильтона: δS = 0 при условии δqi(t1) = δqi(t2) = 0 получаются уравне-

В классическая теория поля вводится плотность функции Лагранжа

Z

L → L(q, ∂µq)d3r ,

роль обобщ¼нных координат Aµ(x) в электродинамике,

для действительного скалярного поля, ϕ(x) è ϕ (x) для комплексного скалярного поля,

Ψi(x) è Ψi(x) для спинорного поля Дирака и т. д.

ãäå Ω кусок 4-пространства между двумя пространственно-подобными 4- поверхностями, например, между t = t1 è t = t2 (рис. 4). Принцип Гамильтона форму- лируется в виде: δS = 0 при условии, что δqi = 0 на границе Σ области Ω.

Требования к плотности функции Лагранжа:

•локальность, т. е. L зависит от q и конечного числа производных от q;

•L действительная функция, чтобы энергия и импульс были действительными, а S-матрица унитарной;

2Здесь и ниже (за исключением приложений A C, F.1) полагаем ~ = 1, c = 1.

16

• L Лоренц-инвариантная функция.

Выбор L неоднозначен, замена L → L0 = L+∂µfµ(q) дает ту же вариацию действия,

Z Z

δS0 = δS + δ ∂µfµ(q)d4x = δS + δ fµdΣµ = δS .

Ω Σ

При этом мы воспользовались обобщением тр¼хмерной теоремы Стокса

ZI

(r f) d3r = f dS

VS

на область в 4-пространстве:

ZI

∂µfµd4x = fµdΣµ

ΩΣ

èтем фактом, что на поверхности Σ величины q не варьируются. Потребуем δS = 0, ýòî äàåò

Последнее слагаемое преобразуем по теореме Стокса, и оно исчезает, т. к. δq|Σ = 0. В итоге получаем уравнения движения для полей:

3.2. Симметрия и законы сохранения

3.2.1. Теорема Н¼тер

В классической механике известна теорема Н¼тер: если вид действия не изменяется при преобразованиях

q → q0 = q + δq, t → t0 = t + δt,

Eδt − pδq = const,

3Подчеркн¼м, что в левой и правой сторонах равенства (1a) стоит одна и та же функция L, но от разных аргументов.

17

Теорема Н¼тер для классических полей: пусть при непрерывном преобразова-

нии 4-координат

xµ → x0µ = xµ + δxµ

и полей

qi → qi0 = qi + δqi

вариация

3.2.2. Однородность пространства-времени и сохранение импульса-энергии

Пусть вид действия не изменяется при сдвиге 4-координат

xµ → x0µ = xµ + εµ ,

ò. å. δS = 0 ïðè δxµ = εµ è δq = 0. В этом случае из теоремы Н¼тер следует, что 4-вектор

δΘµ = T µνεν ,

ãäå

плотность тензора энергии-импульса, удовлетворяет уравнению (3b) èëè

∂T µν

∂xµ

= 0 .

18

Поэтому сохраняется 4-импульс поля:

Z

T µ0d3r = P µ = constµ

Проверим этот факт следующим вычислением, вполне аналогичным такой же выкладке в классической механике. Для этого найдем производную

и перепишем первое слагаемое в правой части, используя уравнения движения

а во втором слагаемом произвед¼м перестановку порядка дифференцирования µ ↔ ν:

÷. ò. ä.

Аналогично можно показать, что из изотропии пространства следует сохранение момента импульса поля.

3.2.3. Калибровочное преобразование первого рода и сохранение заряда

Пусть L зависит от комплексного скалярного поля q1 = ϕ(x) è q2 = ϕ (x), а также от ∂µϕ è ∂µϕ òàê, ÷òî L(q, ∂µq) не изменяется при замене полей

ϕ(x) → eiαϕ(x), ϕ (x) → e−iαϕ (x),

где α вещественное число. Конечно, при этом не изменяется и вид действия. В этом случае δS = 0 при

δxµ = 0 , δϕ(x) = iεϕ(x) , δϕ (x) = −iεϕ (x) ,

ãäå ε = δα → 0. Ïðè ýòîì

19

и теорема Н¼тер гарантирует, что

∂x∂µ δΘµ = 0.

Покажем это, учитывая, что δL = 0 при указанных вариациях, т. е.

Первая квадратная скобка [. . .] = 0 в силу уравнений движения, а второе слагаемое

да¼т необходимый результат. Итак, если ввести 4-вектор

Величина Q это заряд (не обязательно электрический, например, барионный).

4. Действительное скалярное поле Φ(x) = Φ (x)

Плотность функции Лагранжа действительного скалярного поля выбираем так

L(Φ, ∂µΦ) = 12 ∂µΦ∂µΦ − m2Φ2 ,

чтобы уравнение Лагранжа

совпадало с уравнением Клейна-Фока-Гордона 4

pˆµpˆµ − m2 Φ = 0

(напомним, что pˆµ = i∂µ).

Провед¼м разложение в ряд Фурье аналогично тому, как это было сделано для электромагнитного поля,

X

Φ(x) = Np ap(t)eipr + ap(t)e−ipr .

p

4Свойства этого уравнения обсуждаются в B.

20

Из уравнений движения

a¨p(t) + (p2 + m2) ap(t) = 0

получим соотношение E2(p) = p2 + m2 и зависимость амплитуд ap(t) от времени

p

ap(t) e−iεpt, ap(t) eiεpt , εp = + p2 + m2.

Нормировочный коэффициент Np выбираем из условия нормировки на одну частицу в объ¼ме V (ñì. (B.2b)):

Эта величина оказывается положительно определ¼нной: T 00 ≥ 0. Энергию поля представим в виде

(−εpεp0 − pp0) + m2 apeipr + ape−ipr ap0eip0r + ap0e−ip0r .

Учитывая, что R eipre−ip0r d3r = Vδpp0, получим

XX

E = Np22ε2pVapap = εpapap .

p p

Аналогичные выкладки справедливы и для

X

P = p apap .

p

Процедура квантования свед¼тся к заменам

ap(t) → aˆp , ap(t) → aˆ+p ,

ïðè ýòîì

Правила квантования для осцилляторов поля, соответствующие статистике БозеЭйнштейна

aˆp, aˆ+p0 = δpp0, [ˆap, aˆp0] = aˆ+p , aˆ+p0 = 0