ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

И

ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Гиперболические функции

Определение

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

(в англоязычной литературе обозначается )

• гиперболический косинус:

(в англоязычной литературе обозначается )

• гиперболический тангенс:

(в англоязычной литературе обозначается )

• гиперболический котангенс:

• гиперболические секанс и косеканс:

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями:

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

.

Важные соотношения:

1. 

2. Чётность:

   1. 

   2. 

   3. 

3. Формулы сложения:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

4. Формулы двойного угла:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

5. Формулы кратных углов:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

6. Произведения

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

7. Суммы

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

8. Формулы понижения степени

   1. 

   2. 

9. Производные:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

   7. 

10. Интегралы:

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

    5. 

Неравенства:

Для всех выполняется:

1. 

2. 

Разложение в степенные ряды:

(Ряд Лорана)

Здесь — числа Бернулли.

Графики:

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

sh, ch и th

csch, sech и cth

Обратные гиперболические функции

— обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:

— обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.

— обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.

— обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.

— обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.

— обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.

Графики:

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Обратные гиперболические функции

Название функции	Обозначение в русской литературе	Обозначение в английской литературе
ареасинус	arsh	arsinh, sinh−1
ареакосинус	arch	arcosh, cosh−1
ареатангенс	arth	artanh, tanh−1
ареакотангенс	arcth	arcotanh, cotanh−1
ареасеканс	arsech	arsech, sech−1
ареакосеканс	arcsch	arcsch, csch−1

Определения функций

Гиперболический ареасинус для действительного аргумента

Гиперболический ареакосинус для действительного аргумента

Гиперболический ареатангенс для действительного аргумента

Гиперболический ареакотангенс для действительного аргумента

Гиперболический ареасеканс для действительного аргумента

Гиперболический ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости функции можно определить формулами:

• Гиперболический ареасинус:

• Гиперболический ареакосинус:

• Гиперболический ареатангенс:

• Гиперболический ареакотангенс:

• Гиперболический ареасеканс:

• Гиперболический ареакосеканс:

Разложение в ряд

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой:

Производные

Для действительных x:

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

Дополнительные формулы