Г.Д, Ковалева, А.С. Липин -Теория вероятностей для социологов и менеджеров

Введение

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного курса – дать ключевые понятия теории вероятностей. Так как со случайными явлениями социологам и экономистам приходится сталкиваться постоянно, этот курс является неотъемлемой частью экономического образования.

Можно строить выводы, опираясь на качественные и количественные исследования, глубокие интервью, философские умозаключения, исторические факты. Не всегда существует возможность проверить статистическую достоверность выводов, а иногда в этом нет необходимости, достаточно логических рассуждений. Однако при решении большинства задач необходимо доказать обоснованность выводов, опирающихся на эмпирические данные.

Задача описания данных проста, например, по результатам обследования сообщается, что население состоит на 50% из мужчин и на 50% из женщин, средний возраст равен 35 годам, высшее образование имеют 15% населения и т.д. Но какова точность такого описания?

С этим вопросом перекликается вопрос репрезентативности выборки. В целом эта проблема затрагивает не только вероятностные аспекты. Теория вероятностей позволяет рассмотреть одну из сторон проблемы, например, сопоставить собранные данные и государственную статистику, и ответить на вопрос, соответствуют ли параметры выборки генеральной совокупности.

При исследовании механизмов социально-экономического развития часто возникают вопросы: «Существует ли связь между переменными?», «Как связаны те или иные переменные?». Необходимо понять, какая мера связи подходит, выяснить, существенна ли связь, не может ли рассчитанный коэффициент получиться случайно.

Для описания и исследования социальных явлений используются математические модели. Они позволяют представить механизм взаимодействия различных переменных. С одной стороны, модель – это теоретическая конструкция, с другой – эмпирическая, так как параметры моделей оцениваются на основе данных случайной выборки. Необходимо проверить, адекватна ли модель данным, существенны ли все ее параметры. В большинстве случаев построение таких моделей основано на теории вероятностей.

В практических задачах, маркетинговых исследованиях, опросах общественного мнения заказчику нужен достоверный результат, но достоверный результат требует статистической проверки.

Таким образом, теория вероятностей и математическая статистика (ее продолжение) дают возможность сформулировать, что такое «существенное различие», «существенная зависимость», что позволяет избежать ненадежных выводов, изучить некоторые аспекты репрезентативности выборки, построить вероятностные модели социальных явлений.

Теория вероятностей занимается определением вероятностей, математическая статистика, используя теорию вероятностей, на основе вероятностных моделей позволяет оценить характеристики распределения по имеющимся эмпирическим данным и обосновать практические решения.

4

Глава 1. События и вероятности

Глава 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ

1.1. Опыт, событие, случайная величина

Исходной точкой для теории вероятностей являются факты, полученные в результате опыта, либо эксперимента. На полученных фактах строится вероятностная модель процесса. Эксперимент может состоять как в наблюдении некоторого явления при определенных условиях, так и в моделировании определенного процесса. Результаты могут характеризоваться качественно и количественно. Эксперимент называется случайным экспериментом, если его результат нельзя предсказать заранее. Качественные характеристики эксперимента позволяют зарегистрировать некоторый факт, который может быть простым или достаточно сложным. Например, при подбрасывании монетки можно получить факты выпадения – «орла» или «решки». В экономических исследованиях примерами экспериментов могут быть опрос респондентов, регистрация корпоративной прибыли компании по годам, а событиями – отказ отвечать на вопрос, выбор группы респондентов, обладающих определенными свойствами, или суммарная прибыль компании в течение пяти лет.

Количественные характеристики эксперимента – это числовые величины, полученные в результате его проведения. Они могут принимать различные значения, не известные до проведения эксперимента. Эти характеристики называются случайными величинами.

Например, случайными величинами являются результаты опроса респондента: возраст; стаж на последнем месте работы, числовые данные, полученные в результате регистрации корпоративной прибыли. Агрегированные характеристики – средний возраст; доля мужчин в выборке, среднегодовая прибыль компании – также являются случайными величинами, так как рассчитываются на основе случайных наблюдений.

1.2. Вероятностное пространство

Во многих случаях для решения экономической задачи необходимо построить математическую модель процесса. Для решения вероятностных задач соответственно необходимо построить соответственно вероятностную модель явления. Первым этапом (и чаще всего основным) является построение вероятностного пространства. Оно включает множество элементарных исходов случайного эксперимента, множество подмножеств элементарных исходов и функцию вероятности, заданную на множестве подмножеств. Различают случаи конечного и счетного множества подмножеств с заданной функцией вероятностей.

Вероятностное пространство с конечным или счетным множеством подмножеств описывается аксиоматикой А. Н. Колмогорова.

Формальное изложение теории вероятностей затруднительно, поэтому элементам теории обычно сопоставляют содержательные примеры, которые включают интуитивное восприятие и возможность действовать «по аналогии». От этой традиции не будем уходить и мы. В некоторых случаях мы даже будем опираться на образное восприятие, не вдаваясь в математические подробности.

1.2.1. Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий – это множество, содержащее все возмож-

ные результаты данного эксперимента – исходы, из которых происходит только один. Иногда принято называть исходы элементарными исходами. Из определения множества очевидно, что элементарные исходы взаимоисключающи. Определение множества элементарных исходов в каждом случае зависит от конкретной задачи.

Событие – подмножество множества . Элементарный исход в теории вероятностей называется элементарным событием.

5

Теория вероятностей

Пример 1.1a. При проведении опроса для исследования общественного мнения из 3 студентов (Сидорова, Петрова, Ивановой) выбрали одного. Построить подмножество удовлетворяю-

щее событию {выбран юноша}.

На основании здравого смысла легко сообразить, что в качестве пространства элементарных исходов можно взять ={С, П, И}, где элементы обозначены по первым буквам фамилий. При этом событие A={юноша} записывается так: A={С, П}.

Пример 1.1б. Преподаватель дважды наугад вызывает студентов. Построить подмножество удовлетворяющее событию {вызваны разные студенты}. Пространство элементарных исходов:

={(С, С), (С, П), (С, И), (П, С), (П, П), (П, И), (И, С), (И, П), (И, И)}

Событие A={разные студенты} записывается:

A={(С, П), (С, И), (П, С), (П, И), (И, С), (И, П)}

Пример 1.2. «Задача о встрече». Респондент должен заглянуть домой в случайное время с 900 до 1000, интервьюер приходит к нему также в случайное время с 900 до 1000. оба ждут друг друга 15 мин. Построить подмножество, удовлетворяющее событию {опрос проведен}

1.2.2. Алгебра событий

Операции над событиями имеют тот же смысл, что и операции над множествами (булевская алгебра), но в теории вероятностей при определении алгебры (поля) событий и сигма – алгебры вводится ряд терминов и обозначений, приближающих теорию к содержательной сути.

Достоверное событие – событие, которое обязательно происходит, Примером может быть множество всех исходов Ω.

Невозможное событие – событие, которое не может произойти (не содержит элементарных исходов). Невозможное событие принято обозначать .

Причем всегда .

Объединение A B (либо A B ) событий A и B – это событие означает, что произошло либо A, либо B , либо оба события одновременно. Другими словами – это множество, включающее все элементарные исходы, содержащиеся или в A или в B (рис. 1.2-а).

Пересечение A B (либо AB ) событий A и B – это такое событие, когда одновременно произошли A и B ; это множество элементарных исходов, содержащихся как в A, так и в B (рис. 1.2-б).

Дополнение A\ B (либо A B) события B до A – это событие, состоящее в том, что произошло A, но не произошло B ; это множество, содержащее элементарные исходы A, не содержащиеся в B (рис. 1.2-в).

6

Глава 1. События и вероятности

Противоположное A \ A – событие, означающее, что A не произошло; это дополнение A до (рис. 1.2-г).

Рис 1.2 Операции над событиями

Для действий над событиями справедливы следующие стандартные формулы теории множеств:

Дистрибутивность: A B C A C B C , A B C A C B C .

Принцип двойственности: A B A B, A B A B.

Несовместные события A и B : A B .

Попарно несовместные события A1,A2, ,An : i j Ai Aj . A влечет B : A B .

Если при этом B влечет A, то можно сказать, что события A и B тождественны –

A B.

Теперь, после определения основных операций, можно перейти к заданию сигмаалгебры и ее частного случая – алгебры (или поля) событий.

Сигма-алгебра (σ-алгебра) событий – это множество , удовлетворяющее следующим условиям:

1).

2)Если A , то A .

3)Если A1,A2, , то A1 A2 (счетное количество событий Ai ).

Впримерах 1.1 a, б σ-алгеброй является множество всех подмножеств. Если множество элементарных событий может быть представлено геометрической фигурой (см. пример 1.2), σ-алгебру обычно считают состоящей из множеств, площадь (объем) которых поддается вычислению.

Свойства σ-алгебры событий:

1).

2)Если A1,A2, , то A1 A2 (счетное количество событий Ai ).

3)Если A,B , то A\ B .

Из определения σ-алгебры событий и его свойств – очевидно, что это замкнутое множество относительно заданных нами операций с событиями, т.к. результат любой операции с элементами будет лежать в , т.е. не выходить за его рамки.

Замечание. Определение σ-алгебры событий схоже с определением поля событий или иначе – алгебры. Разница в том, что при замкнутости конечного числа операций над событиями – это алгебра, а для замкнутости счетного числа операций – σ-алгебра.

7

Теория вероятностей

1.2.3. Вероятность события

Вероятность (вероятностная мера в аксиоматике А. Н. Колмогорова) – это функция

ность любого события совпадает с суммой вероятностей, его составляющих. В частности, в

3)0 P A 1.

4)P A B P A P B P A B .

Отметим типичное заблуждение. Вероятность достоверного события P 1, но если есть некоторое событие D:P D 1, то это означает не более того, что D . В этом слу-

чае пространство элементарных исходов может быть представлено в виде = D D1 , где D D1 и D1 . Тогда 1 P P D P D1 1 0. Следствием является также и то,

что если для некоторого события G выполняется равенство P G 0, то это не означает,

что G – невозможное событие.

После определения на пространстве элементарных исходов σ-алгебры событий и задания на ней вероятностной меры P можно считать, что построена математическая модель случайного эксперимента. При этом тройка , ,P называется вероятностным простран-

ством.

1.3. Классическая вероятностная схема

Классическая схема соответствует конечному множеству равновозможных элементарных исходов (так же как в примерах 1.1 a, б). Если состоит из N элементарных исходов –1, 2, , N , событие A – из M элементов. Исходы равновозможные – i

Таким образом, проблема вычисления вероятностей по классической схеме состоит в вычислении мощностей событий и A.

8

Глава 1. События и вероятности

1.3.1. Принцип произведения

Этот принцип используется, если элементарные исходы и события можно представить

этом случае число элементов в событии получается в виде произведения мощностей соответствующих множеств.

Пример 1.3. При проведении психологического исследования, испытуемому предлагают выбрать одну букву латинского алфавита (из 26 букв), одну цифру от 0 до 9, одну букву из кириллицы (из 33 букв). Найти вероятность того, что при случайном выборе он не укажет первые символы из алфавитов и ноль.

Число всех возможных сочетаний N=26 10 33=8580. Число сочетаний при исключенных из рассмотрения символах равно M=25 9 32=7200. Вероятность:

P A M 7200 0,84.

N 8580

Важным частным случаем является случай, когда Vk , A Tl . Ситуации, возникающие в данном случае, рассматриваются ниже в задачах комбинаторики.

1.3.2. Размещения и перестановки, выборки с возвращением и без возвращения

К принципу произведения можно подходить творчески, используя его в более сложных случаях, когда элементарными исходами являются не все элементы прямого произведения, а некоторое его подмножество; когда событие представляет собой объединение прямых произведений множеств и т.п. Такой подход реализуется в комбинаторике. Напомним, что в классической вероятностной схеме множество элементарных событий конечно и они равновероятны.

Комбинаторику удобно рассматривать на примере случайного составления слов из букв алфавита. Этот пример может быть моделью для многих задач с различным содержательным наполнением. В дальнейшем, в математической статистике модель с алфавитом поможет понять, есть ли закономерность в данных или они подобны словам, случайно составленным из букв некоторого алфавита.

Итак, пусть имеется алфавит E e1,e2, .en с буквами ei .

Выбор с возвращением и с учетом порядка

Если выбор k элементов из множества E e1,e2, .en производится с возвращением

и учитывается их порядок, эти комбинации элементов называются размещениями с повторениями, их общее число равно:

Nn n n nk ,

k раз

так как при выборе каждого из k элементов имеем n возможностей. Это как раз тот случай применения принципа произведения, когда рассматривается k-кратное прямое произведение множества (алфавита) на себя.

Выбор без возвращения с учетом порядка

Выбираем k букв из n, но обратно буквы не возвращаем. Выбор на каждом этапе осуществляем из оставшихся букв в алфавите и в слове они не повторяются. Такая комбинация из k элементов называется размещением k элементов из n. При выборе первой буквы имеется n возможностей, при выборе второй – n 1 , и т.д., при выборе k-й буквы – n k 1 .

Таким образом, число размещений из k букв в соответствии с принципом произведения выражается формулой:

9

Теория вероятностей

n! Ank n n 1 n k 1 n k !.

Размещения из n элементов по n называются перестановками. Легко видеть, что число перестановок равно Ann Pn n!.

При вычислении вероятностей по формулам комбинаторики полезно при больших n

использовать формулу Стирлинга: n! nne n 2 n .

Пример 1.4. При опросе общественного мнения выясняется рейтинг семи известных личностей: Жириновского, Путина, Глазьева, Явлинского, Немцова, Зюганова, Чубайса. Респонденту предложено выбрать четырех из них, упорядочив их по его доверию к ним. Какова вероятность того, что при случайных ответах респондента среди выбранных на первом месте будет Чубайс, а на последнем Зюганов?

стей выбора. При равных вероятностях выбора каждого из 7 кандидатур искомая вероятность

Пример 1.5. Стечение обстоятельств таково, что для социологического обследования разные интервьюеры независимо друг от друга отбирали 10 человек из 100. Такой схемой отбора они «портили» объект исследования, поскольку она не исключает повторного опроса. Какова

1.3.3. Вероятность отбора элементов без возвращения и без учета порядка

Выбор без возвращения и без учета порядка

Рассмотрим еще раз задачу выбора k элементов из n без возвращения. Отобранные k элементов будем записывать в строку одну комбинацию за другой в виде элементов строки, но при условии, что в строке комбинации с таким составом элементов нет. Порядок элементов в данном случае нас не интересует.

Построив строку, берем первую комбинацию и записываем вниз под ней все перестановки, полученные из нее. И так для каждой комбинации нашей строки. В результате мы, перебрав все комбинации, получаем все размещения из n элементов по k , представленные в виде матрицы, которые в столбцах различаются порядком, а в любой из строк по составу.

Так как число элементов в столбцах везде одинаково и равно числу перестановок из k

ся по составу, а порядок роли не играет, в k! раз меньше, чем число размещений из n по k ,

10