Аксиома параллельности.

V₁. (Аксиома параллельности евклидовой геометрии). Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей прямую а.

С помощью аксиомы параллельности евклидовой геометрии докажем утверждение, обратное к утверждению теоремы 4.2:

Если даны две непересекающиеся прямые a и b, которые пересечены третьей, то соответственные углы будут равны между собой.

Действительно, пусть прямые a и b пересечены прямой с. Предположим, что угол  между прямыми а и с не равен углу  между прямыми b и c (рис. 14). Проведем через точку В пересечения прямых b и c прямую b так, чтобы она составляла с прямой с угол , равный углу  (см. рис. 14). Тогда согласно теореме 4.2. прямые а и b не пересекаются. Через точку В проходит две прямые, не пересекающие прямую а, что противоречит аксиоме V₁.

Еще раз отметим, что для доказательства этого утверждения необходима аксиома параллельности V₁.

Аксиомы пяти групп аксиоматики Гильберта позволяют доказать все утверждения, изложенные в школьных учебниках. Они служат основой для построения теории параллельных линий евклидовой геометрии, позволяют доказать теоремы о сумме углов треугольника и многоугольника, построить теорию подобия в евклидовой геометрии. Аксиома необходима для доказательства теоремы Пифагора, с помощью которой строится обычная тригонометрия, изучаемая в школе, а также декартова аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, позволяющая применить алгебраический аппарат к изучению геометрических свойств фигур на плоскости и тел в пространстве. Используя аксиомы пяти групп, вводится понятие площади многоугольника на плоскости и объема многогранника в пространстве.

Исследование аксиоматики Гильберта мы проведем позже, используя при этом аксиоматику Вейля трехмерного евклидова пространства.