Лекция 5.
Литература [1] § 67 ‑ 70, [2] § 8
История попыток доказательства пятого постулата евклида.
Первые геометрические представления зародились в глубокой древности и были вызваны чисто практическими потребностями. Само слово “Геометрия” переводится с древнегреческого языка как “Землемерие”. Можно представить себе множество реальных, насущных задач, для решения которых необходимо использовать простейшие геометрические умения и навыки: провешивание прямой линии на местности, построение прямого угла, измерение площади земельного участка или объема сосуда и т.п. Развитию геометрических учений в древности посвящена обширная историческая литература. В нашу задачу не входит ее подробное описание. Остановимся только на краткой характеристике геометрических достижений древнегреческих математиков.
В истории развития цивилизации научные достижения древнегреческих ученых занимают особое место. Мыслители древней Греции впервые занимались научными исследованиями ради занятий наукой, отталкиваясь от их практической и утилитарной направленности, но и абстрагируя от нее. Они заложили и разработали методологические основы современной научной деятельности.
За сравнительно короткий период 7 по 3 век до нашей эры древнегреческие ученые превратили разрозненные геометрические знания и представления в систематизированную научную теорию, характеризуемую высокой степенью абстракции. Начало древнегреческой эпохи развития геометрии связывают с Фалесом из города Милета (635 - 548 г.г. до наше эры). Он считается родоначальником греческой науки и философии. Ему приписывают, например, доказательства свойств вертикальных углов, углов при основании равнобедренного треугольника, свойств отрезков, отсекаемых параллельными прямыми от сторон угла и ряд других. Однако только пифагорейцы, последователи древнегреческого ученого Пифагора (570 - 471 г.г. до нашей эры) придали геометрии характер науки, рассматривая геометрические свойства фигур и пространственных тел с интеллектуальной и нематериальной точки зрения. В школе Пифагора, в частности, были доказаны свойства суммы углов треугольника, геометрический способ решения квадратных уравнений, знаменитая теорема Пифагора, существования несоизмеримых отрезков и пяти типов правильных многогранников, экстремальные свойства круга и шара.
Интересно отметить отношение к математике в школе Платона (429 -348 г.г. до нашей эры). Хотя Платон не сделал математических открытий, но, как писал известный историк математики Гейберг, логическая выучка, заложенная им, в значительной мере содействовала систематическому построению элементарной математики. Он придал ей ту логическую точность и безупречность, которая стала впоследствии ее отличительной чертой. Известно предание, что над входом в организованную им Академию было написано: “Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии”. Следует отметить, что такое отношение к математике было характерно для большинства научных школ в древней Греции. Объем научных знаний в античные времена был достаточно невелик, и каждый античный ученый являлся специалистом, по сути, во всех их областях. Он учил своих учеников всему, что знал и умел. Вершиной всех наук считалась философия. Но для ее постижения необходимо было изучить геометрию, которая являла собой пример логически стройного и безупречного научного знания, закладывающего методологические основы изучения наиболее общих явлений окружающего мира.
К третьему веку до нашей эры, накопив обширный фактический материал, древнегреческие ученые были поставлены перед необходимостью его систематизации и приведения в стройную логическую систему. За решения этой задачи принимались различные ученые. Однако их произведения не дошли до наших дней и были забыты после появления на свет знаменитых “Начал” Евклида.
О жизни Евклида (около 330 - 275 г.г. до нашей эры) почти ничего неизвестно. С достоверностью можно только сказать, что он являлся учеником школы Платона и преподавал математику в Александрии во времена царя Птолемея 1, одного из сподвижников Александра Македонского. В философском смысле структура “Начал” следует четкой логической схеме построения научной теории, разработанной в школах Платона и Аристотеля. Из этой схемы вытекает, что научная теория состоит в исследовании причин, объясняющих связь явлений. Научные положения должны выводиться из первоначальных посылок с помощью умозаключений, построенных по законам формальной логики. Поэтому в основу “Начал” Евклид положил определения, сформулировал аксиомы и постулаты, а затем логически безупречно выводил из них остальные предложения, описывающие геометрические свойства плоских фигур и пространственных тел. Такая структура “Начал” определила их дальнейшую судьбу. Более двух тысячелетий они использовались при обучении школьников математике, выдержала с 1482 года более 500 изданий (больше издавалась только библия), а в Англии до середины 19 века обучение в школах велось по “Началам” Евклида. Известно, что двенадцатилетний Эварист Галуа, знаменитый французский математик, заложивший основы современной алгебры, благодаря этой книге за одну ночь постиг всю красоту и прелесть занятий математикой, читая формулировки положений, доказывая их самостоятельно и размышляя, сверяясь с книгой, над дальнейшими путями развития теории.
Начала состоят из 14 книг. До нас дошло только 13, последняя 14 книга, посвященная теории конических сечений, была утеряна и нам о ней известно только благодаря комментариям последователей Евклида. Каждая книга начинается с определений, постулатов и аксиом. Первая из них содержит 35 определений, 5 постулатов и 5 аксиом. По меткому выражению Ламберта, Евклид поступает так, “как поступает, например, часовщик или другой ремесленник, начиная знакомить учеников с названиями орудий своего труда”.
Рассмотрим некоторые из определений первой книги:
-
Точка есть то, что не имеет частей.
-
Линия есть длина без ширины.
-
Концы линии суть точки.
-
Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.
-
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
-
Концы же или края поверхности суть линии.
-
Плоская поверхность есть та, которая одинакова расположена относительно всех своих прямых.
Предварительный анализ приведенных определений показывает, что они имеют чисто описательный характер. В качестве основных понятий принимаются элементы длины и ширины, с помощью которых определяются точки, прямые и плоскости. Такой подход легко объясним, если вспомнить, что эти основные понятия пришли в геометрию из практики. Измерение длины линии - основная операция в землемерии. Определения Евклида отражают естественный путь абстракций, но не имеют точного содержания, пригодного для логических построений, весьма туманны и не используются в дальнейших рассуждениях. Вспомним современные школьные учебники. Их авторы не дают определения точки, прямой и плоскости. Они описывают их, дают понять, что эти понятия не определяются, а концентрируют в себе некоторые свойства, называемые геометрическими, материальных объектов: луча света (прямая), плоской поверхности стола (плоскость), точечного следа карандаша на бумаге (точка).
Приведем формулировки постулатов и аксиом первой книги “Начал”.