6_konspekt

Лекция 6. Система аксиом, требования, предъявляемые к аксиоматике. Понятие о математической структуре. Непротиворечивость, полнота и независимость системы аксиом.

Литература [1] § 77 _ 79, [2] § 9.

Определение 1. Декартово произведение множеств. Пусть имеются произвольные множества: M₁, M₂, … M_n, тогда их декартовым (или прямым) произведением называют множество, состоящее из всех упорядоченных наборов элементов вида (x₁, x₂, … x_n), где x_i  М_i, при i = 1, 2, …n.

Иначе говоря, декартово произведение - это множество всех упорядоченных наборов из n штук элементов, взятых по одному из каждого множества M_i, i = 1, 2, …n. Декартово произведение множеств M₁, M₂, … M_n обозначается через .

Определение 2 Многоместное отношение. Пусть имеется несколько произвольных множеств M₁, M₂, … M_n, тогда любое подмножество r декартова произведения будем называть n-местным (n-арным) отношением, заданным на этих множествах.

Некоторые из множеств M₁, M₂, … M_n могут совпадать. В частности, в случае совпадения всех данных множеств M₁= M₂ =… = M_n = M говорят, что задано n-местное отношение на множестве M.

Пример 1. (Одноместные отношения). Рассмотрим множество натуральных чисел N. Обозначим через p подмножество множества N, состоящее из всех простых чисел. Тогда p является одноместным отношением, заданным на множестве натуральных чисел.

Пример 2. (Задание отображений). Рассмотрим произвольное отображение f от n переменных множества в множество M_n+1. Это отображение может быть задано как (n+1)-местное отношение g на множествах M₁, M₂, … M_n, M_n+1. Действительно, определим g, положив (x₁, x₂, … x_n, x_n+1)  g в том и только том случае, если f(x₁, x₂, … x_n)= =x_n+1.

В частности, рассмотрим операцию сложения, заданную на множестве действительных чисел R. Эта операция является 3-местным (тернарным) отношением на множестве действительных чисел R, для которого введем обозначение «+». Действительно, для произвольной упорядоченной тройки (x, y, z) действительных чисел положим (x, y, z)  «+» в том и только том случае, если x + y= z..

Определение 2.3. Пусть даны n произвольных множеств M₁, M₂, … M_n и k-отношений r₁^m1, r₂^m2, …, r_k^mk, для каждого из которых известно количество m_i (i = 1, …, k) переменных и упорядоченный набор (j₁, j₂, …, j_mi) номеров множеств M_j1, M _j2, … M _jmi, на декартовом произведении которых задано отношение r_i^mi . Пусть имеется также список утверждений , в которых говорится только о свойствах множеств M₁, M₂, … M_n и отношений r₁^m1, r₂^m2, … r_k^mk. Тогда говорят, что на данных множествах определена аксиоматическая теория.

Множества M₁, M₂, … M_n называют основными объектами, отношения r₁^m1, r₂^m2, …, r_k^{mk -} основными отношениями, а список утверждений  - системой аксиом аксиоматической теории Т.

Множества M₁, M₂, … M_n называют основными объектами, отношения r₁^m1, …, r_k^{mk -} основными отношениями, а список утверждений  - системой аксиом аксиоматической теории Т.

Совокупность основных объектов и отношений часто называют основными понятиями аксиоматической теории. Понятия, сформулированные в терминах аксиоматической теории Т, утверждения, описывающие свойства понятий и являющиеся теоремами аксиоматической теории, т.е. логическими следствиями аксиом, вместе составляют математическую структуру рода Т.

Пример 3. (Аксиоматика группы). Под группой понимают произвольное множество G, вместе с заданным на нем 3-местным отношением r³, удовлетворяющим следующим аксиомам:

1) Для любой пары элементов x, yG существует единственный элемент zG, такой что (x, y, z)  r³.

Эта аксиома утверждает, что отношение r³ задает бинарную операцию на множестве G, которая называется умножением. Единственный элемент z, отвечающий паре (x, y) называется произведением x и y и обозначается xy. Таким образом, условие (x, y, z)  r³ записывается в виде .

2) (Ассоциативность умножения). Для любой тройки элементов x, y, zG справедливо равенство (xy)z=x(yx).

3) (Существование правой единицы). Существует элемент eG такой, что для любого xG, справедливо равенство xe=x.

4) (Существование правого обратного). Для любого xG существует элемент из множества G, обозначаемый через , для которого имеет место равенство x = e.

Определение 2.4 МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ. Пусть имеется аксиоматическая теория с основными множествами M₁, M₂, … M_n, основными отношениями r₁^m1, r₂^m2, …, r_k^mk и системой аксиом . Будем говорить, что имеется модель (интерпретация)  этой аксиоматической теории, если выбраны конкретные множества M⁰₁, M⁰₂, … M⁰_n, на которых заданы конкретные отношения с тем же числом переменных и на тех же множествах, что и соответствующие им r_k^mi, удовлетворяющие всем аксиомам системы .

Пример 4. (Модель для аксиоматики группы.) Возьмем в качестве множества G множество G₁, состоящее из двух элементов {0, 1}. На этом множестве определим операцию умножения, положив произведение двух его произвольных элементов, равным их сумме по модулю 2. Легко проверить справедливость аксиом группы для так определенных таким способом множеств основных объектов и отношений. Следовательно, определенные основные объекты и отношения являются моделью для аксиом группы. Легко построить другие примеры моделей аксиоматики группы. Например, выбирая в качестве G множество R действительных чисел, а в качестве операции группового умножения - операцию сложения, получим еще одну модель для системы аксиом теории групп – аддитивную группу действительных чисел.

Займемся теперь вопросом логического исследования аксиоматики с помощью ее моделей.

Важнейшее требование, которому должна удовлетворять аксиоматика - требование ее непротиворечивости. Условие непротиворечивости аксиоматики означает невозможность доказательства в рамках данной системы аксиом двух логически противоречащих друг другу утверждений, например, некоторого утверждения A и его логического отрицания . Действительно, противоречивая аксиоматика бессодержательна, поскольку, как известно из курса математической логики, в ней можно доказать любое утверждение.

Аксиоматика, для которой в рамках определенной ею системы нельзя доказать двух логически противоречивых утверждения, называется абсолютно непротиворечивой или просто непротиворечивой. Для установления непротиворечивости аксиоматики можно воспользоваться ее моделями. Предположим, что имеется модель некоторой аксиоматической теории. Тогда, если средства, с помощью которых построена эта модель, не приводят к противоречию, то и данная аксиоматика непротиворечива. В этом случае говорят об относительной или содержательной непротиворечивости аксиоматики, т. е. ее непротиворечивости при условии непротиворечивости средств, использованных при построении модели. Из курса математической логики известно, что любая непротиворечивая система аксиом имеет модель. Противоречивая аксиоматика, естественно, не может иметь моделей, построенных с использованием корректных средств.

В противоположность аксиомам теории групп, существуют аксиоматики, любые две модели которых изоморфны. Например, как известно из курса математического анализа, любые две модели аксиоматики действительных чисел изоморфны и, в этом смысле, можно говорить о единственности множества действительных чисел. Определим понятие изоморфности моделей аксиоматики.

Определение 2.5. Изоморфизм моделей Пусть M₁, M₂, … M_n - основные множества, а r₁, r₂, …, r_k - основные отношения некоторой системы аксиом . И пусть имеются две модели этой системы аксиом, включающие множества M₁¹, M₂¹, … M_n¹, отношения r₁¹, r₂¹, …, r_k¹, и множества M₁², M₂², … M_n² с заданными на них отношениями r₁², r₂², …, r_k², соответственно. Будем говорить, что эти две модели изоморфны, если существуют взаимно однозначные отображения f₁: M₁¹  M₁², f₂ : M₂¹  M₂², … f_n: M_n¹  M_n² такие, что (x_j1, x_j2, … x_jmi)r_i¹ тогда и только тогда, когда (f(x_j1), f(x_j2), … f(x_jmi))r_i², при всех i=1, …n.

Непротиворечивая система аксиом называется категоричной, если две любые ее модели изоморфны и - некатегоричной в противном случае.

Определение 2.6. Полнота системы аксиом. Непротиворечивая система аксиом называется (дедуктивно) полной, если для любого утверждения, выраженного с помощью ее основных понятий, либо это утверждение, либо его отрицание является логическим следствием (иначе говоря, выводится из) этой системы аксиом.

Аксиоматика группы, таким образом, не является полной, как показывают приведенные выше модели.

Между полнотой и категоричностью системы аксиом имеется связь, а именно, категоричность аксиоматики влечет ее полноту. Действительно, рассуждая от противного, в силу определения имеем, что если система аксиом  не является полной, то найдется утверждение A, выраженное с помощью основных понятий аксиоматики такое, что ни утверждение A, ни его отрицание не являются следствиями аксиом. Иначе говоря, каждая из систем аксиом {A}, {}, получающихся последовательным присоединением к исходной системе утверждений A и в качестве дополнительной аксиомы, являются непротиворечивыми. Следовательно, как было отмечено выше, обе системы аксиом имеют модели, которые являются также моделями системы аксиом . Эти модели, очевидно, не могут быть изоморфными, поскольку в одной из них имеет место утверждение A, а в другой - . Стало быть, неполная система аксиом является некатегоричной, т. е. категоричность аксиоматики влечет ее полноту.

Обратное, вообще говоря, неверно. Не приводя примеров, отметим, что существуют дедуктивно полные системы аксиом, не являющиеся категоричными.

Определение 2.7. Эквивалентность аксиоматик. Пусть даны две аксиоматики и . Если в терминах аксиоматической теории можно построить модель аксиоматики и, наоборот, в терминах аксиоматики можно построить модель системы аксиом , то такие системы аксиом называются эквивалентными.

Эквивалентность аксиоматик можно установить в том случае, если в терминах аксиоматики можно ввести основные понятия и отношения аксиоматики и доказать как теоремы все утверждения аксиом аксиоматики , и наоборот, в терминах аксиоматики ввести основные понятия и отношения аксиоматики и доказать в качестве теорем утверждения ее аксиом. Тогда в любой интерпретации аксиоматики существуют основные объекты и основные отношения и выполняются аксиомы аксиоматики и наоборот, такое же свойство справедливо и для аксиоматики . Очевидно, что эквивалентные аксиоматики обладают одними и теми же свойствами непротиворечивости и полноты. Они приводят по сути дела к одной и той же математической структуре.

Последнее из рассматриваемых в этом разделе логических свойств системы аксиом связано с ее минимальностью. При построении аксиоматической теории, желательно обойтись минимальным набором аксиом, не включающим утверждений, являющихся логическим следствием других аксиом. Это требование и приводит к понятию независимой системы аксиом.

Определение 2.8. Независимость аксиоматики. Пусть имеется непротиворечивая система аксиом  и некоторая аксиома A этой системы. Тогда аксиома A называется независимой, если она не является логическим следствием системы аксиом ’, полученной из системы , удалением из нее аксиомы A. Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если каждая из входящих в нее аксиом является независимой.

Легко показать, что независимость аксиомы A системы аксиом  эквивалентна непротиворечивости системы аксиом , полученной из системы , заменой аксиомы A ее отрицанием . Поэтому для доказательства независимости аксиомы A достаточно построить модель системы аксиом .

Действительно, пусть дана непротиворечивая аксиоматика, систему аксиом которой составляют утверждения . Предположим, что аксиома А является логическим следствием аксиом . Так как исходная аксиоматика непротиворечива, то существует модель системы аксиом . Эта же модель является интерпретацией системы аксиом , которая также непротиворечива. Утверждение аксиомы А является теоремой в аксиоматике . Если предположить, что аксиоматика , систему аксиом которой составляют утверждения , также непротиворечива, то существует ее модель , которая также является моделью аксиом . Но в модели может быть доказано утверждение А, которое логически противоположно утверждению . Поэтому система аксиом является противоречивой, что не соответствует исходному условию.

Докажем, к примеру, независимость 4-й аксиомы (существовании обратного элемента) аксиоматики группы из примера 3. Для этого рассмотрим аксиоматику, систему аксиом которой составляю первые три аксиомы примера 3, а четвертая аксиома заменена ее логическим отрицанием:

) Существует по крайней мере один элемент x  G, для которого во множестве G нельзя найти элемент y такой, что .

В качестве модели такой аксиоматики возьмем множество натуральных чисел с операцией умножения. Это множество, с введенной на ней обычной операцией умножения, как нетрудно видеть, является моделью построенной аксиоматики. Для натуральных чисел выполняются все требования аксиом 1), 2) и 3), единицей является число 1, при этом выполнена аксиома ) для любого натурального числа, за исключением 1.

Заметим, что независимость аксиоматики является ее существенной логической характеристикой. Однако построить нужную модель, доказывающую независимость той или иной аксиомы, далеко не всегда так просто, как в рассмотренном нами иллюстративном примере. В некоторых случаях ее построение составляет математическое открытие, как это было с моделью, построенной для доказательства независимости 5-го постулата Евклида.

Под основными объектами аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства будем понимать элементы трех множеств: R – множество действительных чисел, Ev₃ – элементы этого множества будем называть векторами и E₃ - его элементы в дальнейшем называются точками. Мы не будем приводить аксиомы множества действительных чисел. Теория действительных чисел строилась в курсах теория чисел, числовые системы и математического анализа.

На множестве векторов и точек вводятся следующие основные отношения: операции сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения пары векторов; операция , ставящая в соответствие упорядоченной паре точек X, Y из M, вектор (X, Y) из Еv₃. Легко видеть, что операция сложения векторов, произведения векторов на число, скалярное произведение и операция  представляют собой тернарные отношения соответственно на декартовых произведениях , , и . Условимся в дальнейшем сумму векторов и обозначать через , произведение числа  на вектор - через , скалярное произведение векторов и - через , а вектор (XY) через .

Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства.

Первая группа аксиом – аксиомы линейного векторного пространства.

BI₁. Для любых векторов  V³ справедливо равенство .

BI₂. Для любых трех векторов выполнено: .

BI₃. Существует вектор  V³ такой, что для любого имеет место:

BI₄. Для любого вектора  V³ найдется вектор  V³ такой, что .

BI₅. Для любых чисел , R и любого вектора  V³ справедливо равенство (+)=+.

BI₆. Для любого числа R и любых векторов и из V³ справедливо равенство =.

BI₇. Для любых чисел , R и любого вектора  V³ справедливо равенство ()=().

BI₈. Для любого вектора V³ справедливо равенство 1=.

Вторая группа аксиом – аксиомы размерности трехмерного векторного пространства V₃.

BII₁. Существует линейно независимая тройка векторов , т.е. такая тройка векторов, для которой из соотношения следует ===0.

BII₂. Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. для любых векторов существуют числа , , , R, не все равные нулю, для которых .

Третья группа аксиом - аксиомы скалярного произведения.

BIII₁. Для любых чисел , R, и любых векторов справедливо равенство .

BIII₂. Для любых векторов справедливо равенство .

BIII₃. Для любого ненулевого вектора имеет место .

Из аксиом ВIII₁ – ВIII₃ следует, что скалярное произведение представляет собой положительно определенную симметрическую билинейную форму на V₃. Будем также предполагать, что:

BIII₄. На пространстве V₃ задано множество положительно определенных симметрических билинейных форм, которое включает в себя скалярное произведение векторов, такое, что если , то , где  положительное действительной число.

Другими словами, на V₃ задано множество положительно определенных симметрических билинейных форм, пропорциональных скалярному произведению векторов с точностью до положительного числового сомножителя.

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства.

BIV₁. (Аксиома откладывания вектора) Для любой точки AEv₃ и любого вектора существует единственная точка B такая, что .

BIV₂. (Аксиома треугольника) Для любых трех точек A, B, C справедливо равенство .

Хотя приведенная аксиоматика по своей структуре достаточно проста, построение начал элементарной геометрии на ее основе менее наглядно. Поэтому попытки использования аксиоматики Вейля при построении школьного курса геометрии не получили широкого распространения. Проведем исследование аксиоматики Вейля, докажем ее непротиворечивость, независимость и полноту.

Докажем содержательную непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства. Для этого следует с помощью корректных средств построить модель этой системы аксиом. В качестве средств построения искомой модели мы будем использовать аппарат тории чисел.

Теорема 5.2. Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

Доказательство. Мы докажем содержательную непротиворечивость исследуемой аксиоматики, построив так называемую арифметическую модель аксиоматики Вейля. Как было показано в параграфе 2, отсюда следует ее непротиворечивость, при условии непротиворечивости арифметики.

Под вектором будем понимать строку из трех чисел . Таким образом, множество векторов представляет собой множество строк, состоящих из трех чисел: , где . Точкой также назовем строку из трех чисел , множество точек представляет собой множество строк, состоящих из трех чисел: , где . Операции сложения и умножения вектора на число определим как операции над числовыми строками. Если и , то: