Глава 02 Векторная алгебра

65

Глава 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами

●Понятие геометрического вектора

Всвоей практической деятельности инженер чаще всего имеет дело с так называемыми скалярными и векторными величи-

нами. И если скалярные величины (обычно их называют скалярами)

характеризуются только числовым значением, то для описания век-

торной величины необходимо задать еще и направление. Примерами скаляров служат масса тела, его энергия, температура тела в какой-

либо точке. К векторным величинам относятся, например, смещение материальной точки, движущейся в пространстве, скорость и уско-

рение этой точки, а также действующая на неё сила.

Геометрическим образом векторной величины может служить

направленный отрезок. Напомним, что отрезок прямой называют направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом направленного отрезка и какая – концом. Направленный отрезок естественным образом определяет как числовую характери-

стику векторной величины – это длина направленного отрезка, так и

66 Глава 2. Векторная алгебра

её направленность: линия действия векторной величины – прямая проходящая через концы отрезка, а направление действия векторной величины – от начальной точки направленного отрезка к его конеч-

ной точке.

Направление на направленном отрезке принято отмечать стрел-

кой.

Для обозначения направленного отрезка обычно пишут две большие латинские буквы с общей чертой (или стрелкой) наверху,

при этом первая представляет начало, вторая − конец направленного

отрезка, например, AB (или AB ). Вместо букв A и B могут быть использованы и другие большие латинские буквы (возможно с ин-

дексами).

Будем предполагать, и это существенно, что направленные отрез-

ки неразличимы, если их можно совместить с помощью параллель-

ного переноса.

Математической моделью векторной величины является геомет-

рический вектор, который определяется с помощью понятия на-

правленного отрезка.

Определение 2.1. Геометрическим вектором назовем направлен-

ный отрезок прямой линии.

Ради краткости далее будем геометрический вектор называть вектором, опуская слово «геометрический». Однако необходимо от-

метить, что в математике термин «вектор» относится к достаточно широкому классу понятий (существует, например, арифметический

вектор). Поэтому отождествлять термин «вектор» с понятием «гео-

метрический вектор», вообще говоря, нельзя.

Для обозначения вектора принято использовать одну из строчных

латинских букв с чертой или стрелкой над нею: a илиa. Можно буквы, обозначающие вектор, просто набирать полужирным шриф-

том, например, a или b. Обозначают вектор и символом AB (или

AB ), где точки A и B представляют соответственно начало и ко-

нец вектора.

Начало вектора называют точкой его приложения. Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной (а также мо-

дулем или абсолютной величиной). Длина вектора обозначается сим-

волом AB или a .

Векторы называются коллинеарными, если их линии действия параллельны.

Два вектора называются ортогональными, если их линии действия перпендикулярны.

Три или большее число векторов называются компланарны-

ми, если существует плоскость, которой параллельны линии дейст-

вия всех этих векторов.

К векторам относят и так называемый нулевой вектор – это

«вектор», начальная и конечная точки которого совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, а его длина равна ну-

лю. По определению полагают, что нулевой вектор коллинеарен лю-

68

бому вектору. Для его обозначения используют символ o . Допус-

тима замена символа o более простым символом 0. Появление в семье векторов «отличного от других» нулевого вектора обусловле-

но спецификой действия линейных операций с векторами. Эти опе-

рации будут введены ниже.

Определение 2.2. Два вектора называются равными, если они кол-

линеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равными счи-

таются и все нулевые векторы.

Из определения вытекает, что, выбрав любую точку C ,

можно построить (причем только один) вектор CD, равный некото-

рому заданному вектору AB, или, как говорят, перенести начало вектора AB в точку C . Иными словами, точка приложения любого вектора может быть выбрана произвольно. Таким образом, не разли-

чаются два равных вектора, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом. Поэтому геометрические векторы называют свободными векторами, ибо они определены с точностью до точки приложения.

В дальнейшем будем полагать, если иное не оговорено осо-

бо, что все рассматриваемые геометрические векторы имеют общую точку приложения.

В механике и физике кроме свободных векторов рассматри-

вают скользящие и связанные векторы. Скользящими называют такие векторы, которые считаются эквивалентными (неразличимыми по действию), если они не только равны, но и лежат на одной прямой.

Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к абсолютно твердому телу, так как две силы, равные и расположен-

ные на одной прямой, оказывают на такое тело одинаковое механи-

ческое воздействие. Связанными называют векторы, которые счи-

таются эквивалентными, если они не только равны, но и имеют об-

щую точку приложения. К таким векторам относятся, например,

сила, приложенная к некоторой точке упругого тела.

Линейные операции с векторами

К линейным операциям принято относить операцию умно-

жения вектора на число (скаляр) и операцию сложения векторов.

Определение 2.3. Произведением вектора a на число t называют вектор ta, коллинеарный вектору a и имеющий длину, равную

t a , направление которого совпадает с направлением вектора a,

если t>0 и противоположно направлению вектора a, если t 0.

Естественно, умножая любой вектор на нуль, получим в ре-

зультате нулевой вектор.

Данное определение позволяет сформулировать следующее

условие коллинеарности двух векторов:

Теорема 2.1. Ненулевые векторы a и b коллинеарны в том и только в том случае, если существует число t такое, что справед-

ливо равенство

70 Глава 2. Векторная алгебра

► Достаточность условия (2.1) вытекает прямо из определения про-

изведения вектора на число. Если a t b, то по определению век-

торы a и b коллинеарны.

Докажем необходимость этого условия. Если векторы a и b

коллинеарны, то, имея общую точку приложения, они будут иметь и общую линию действия. Следовательно, интересующее нас число t

равно дроби ab или дроби ab в зависимости от того, сона-

правлены векторы a и b или они имеют противоположные направ-

ления. Единственность найденного множителя t очевидна: при ум-

ножении вектора b на разные числа получаются различные векто-

ры. ◄

Определение 2.4. Суммой a bдвух векторов a и bназывается вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора bпри условии,

что начало вектора bсовпадает с концом вектора a.

Правило сложения векторов, содержащееся в данном опре-

делении, обычно называют правилом треугольника. Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагае-

мые векторы a и b (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма a b образуют треугольник (рис. 2.1). Нетрудно заметить, что при этом вектор a b является также диагональю параллелограмма,

построенного на векторах a и b, так как AD BC b (рис. 2.2),

что позволяет правило сложения векторов сформулировать и в виде

правила параллелограмма:

Определение 2.5. Если неколлинеарные векторы a и b имеют об-

щую точку приложения и на них построен параллелограмм, то сум-

ма a b есть диагональ этого параллелограмма, выходящая из об-

щего начала векторов a и b.

Если векторы образуют замкнутый многоугольник, т.е. каж-

дый следующий вектор приложен к концу предыдущего, а конец последнего совпадает с началом первого, то сумма всех этих векто-

ров равна нулевому вектору. Очевидно, что прибавление нулевого

вектора к любому вектору не меняет последнего.

АD

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Умножение вектора на число является естественным обоб-

щением сложения векторов. Так, например, под вектором 3 a по-

нимается сумма a a a . Сложение вектора со скаляром так же нелепо, как сложение величин разной размерности, например, се-

кунд и сантиметров.

Отметим, что векторы не сравниваются друг с другом, нет положительных и отрицательных векторов, не бывает неравенств

вида a b и т.п.

Свойства линейных операций с векторами

При сложении векторов и при умножении вектора на число справедливы все обычные правила, с которыми мы привыкли иметь дело в курсе элементарной математики. Для любых векторов a, b, c

выполняются следующие равенства:

1.a b b a (коммутативность суммы);

2.(a b) c a (b c) (ассоциативность суммы);

3.Существует нулевой вектор 0 такой, что a 0 a ;

4.Для каждого вектора a, существует противоположный век-

тор a такой, что a ( a) 0;

5. 1 a a для любого вектора a (особая роль числового мно-

жителя 1);

6. ( a) ( )a (ассоциативность относительно числового множителя);

7. ( ) a a a (дистрибутивность по отношению к

умножению на вектор);

8.(a b) a b (дистрибутивность по отношению к ум-

ножению на число).

73

Выписанные выше свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов прямо вытекают из определений этих операций, геометрически наглядны и легко проверяются. Вектор

a, противоположный к вектору a, коллинеарен вектору a, равен ему по длине и противоположно направлен, иными словами это век-

тор ( 1) a .

Благодаря свойствам 1-8, все выкладки в векторной алгебре производятся по тем же правилам, по которым производятся анало-

гичные выкладки в обычной «школьной» алгебре, т.е. можно приме-

нять обычные арифметические правила раскрытия скобок и вынесе-

ния множителей за скобки..

В математике принято называть линейным (или векторным)

пространством всякое множество, если

1) на элементах множества определены две операции: одна из них, называемая суммой элементов, любым двум элементам мно-

жества ставит в соответствие по некоторому правилу третий элемент этого множества, а вторая, называемая произведением на число, каж-

дому элементу множества и всякому числу ставит в соответствие определенный элемент множества;

2) эти операции обладают всеми восьмью свойствами, пере-

численными выше.

Таким образом, множество всех геометрических векторов с определенными выше линейными операциями представляет собой линейное пространство, которое обозначают символом B3 . Линей-

74 Глава 2. Векторная алгебра

ными пространствами будут и аналогичные множества геометриче-

ских векторов на плоскости и на прямой линии. Для их обозначения используются соответственно символы B2 и B1 .

Отметим, что элементы любого линейного пространства принято называть векторами. Естественно, такие «векторы», вооб-

ще говоря, не имеют ничего общего с геометрическими векторами.

Например, множество всех функций, определенных и непрерывных на отрезке a, b , когда операции сложения таких функций и умно-

жения их на число определены обычными правилами математиче-

ского анализа, тоже будет линейным пространством (справедли-

вость свойств 1-8 проверяется элементарно). Следовательно, функ-

ции этого множества являются векторами данного линейного про-

странства. Поэтому с термином «вектор» надо обращаться очень аккуратно и не отождествлять его автоматически с понятием «гео-

метрический вектор».

Линейные комбинации векторов

Определение 2.6. Линейной комбинацией векторов a1, a2, , an

называют вектор

b t1 a1 t2 a2 tn an ,

где t1, t2, , tn − произвольные числа, называемые коэффициента-

ми линейной комбинации. Говорят, что линейная комбинация век-

торов равна нулю, если b − нулевой вектор.