Глава 04 Линейные пространства
.pdf149
Глава4
ЛИНЕЙНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
4.1Линейное пространство
иего реализации
Определение линейного пространства
Впредыдущей главе Вы познакомились со свойствами геометри-
ческих векторов и возможными операциями над векторами. В этой главе мы будем обсуждать свойства векторов1 с более общей точки зрения.
В общем случае вектором называют элемент линейного про-
странства, а само это пространство вводят с помощью системы ак-
сиом.
Пусть задано некоторое множество Vобъектов (которые в даль-
нейшем мы назовем векторами, хотя природа этих объектов может быть произвольной). На множестве V введем две операции:
1 Уже не только геометрических векторов, но в том числе и геометрических.
150 |
|
|
|
Глава 4. Линейные пространства |
|
|
|
|
|
||
1) |
сложение, когда любым двум элементам |
|
a |
, |
|
V ставит- |
|||||
|
b |
||||||||||
|
ся в соответствие некоторый |
третий элемент |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
V ; |
|
|
|
|
|
|
c |
a |
b |
|
|
|
|
|
2)умножение элемента a V на любое действительное чис-
ло R так, что c a V .
Определение 4.1. Множество V с заданными операциями сложения элементов и умножения элементов на любое действительное число называют линейным (или векторным) пространством над полем действительных чисел (или вещественным векторным пространст-
вом), если выполняется следующая система аксиом2:
1) |
a |
b b |
a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
,b V ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
( |
|
|
|
|
) ( |
|
|
|
|
|
) |
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
V ; |
||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
существует нулевой |
|
вектор |
o |
V такой, что |
a |
|
o |
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
для любого вектора |
a |
V ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4) |
для любого вектора |
|
a |
V существует противоположный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вектор |
|
a |
V такой, что |
a |
( |
a |
) |
o |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
( ) |
a |
|
a |
|
a |
, |
|
|
|
, R и |
a |
|
V ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
( ) |
a |
|
( |
a |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, R и |
a |
V ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
, |
|
|
|
R и |
|
, |
|
V ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
|
|
|
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
1 |
a |
|
a |
, |
|
|
|
|
|
|
a |
V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 В аксиомах линейного пространства символом обозначен квантор всеобщности, который заменяет собой слова «любой», «для любого», «для каждого».
Глава 4. Линейные пространства |
151 |
Замечание. В нашем определении участвует поле действительных чисел. В общем случае можно заменить это поле любым другим по-
лем K (тогда говорят о векторном пространстве над K ), напри-
мер, вместо R можно использовать поле рациональных или поле комплексных чисел.
В дальнейшем линейное пространство (векторное простран-
ство) мы часто, для краткости, будем называть линеалом.
Примеры линейных пространств
Пример 4.1. Само поле действительных чисел можно рассматривать как простейший пример линейного пространства. Здесь V R ,
сумма двух векторов — это сумма двух действительных чисел, ум-
ножение вектора на число — это обычное умножение в R .
Точно так же линейным пространством является множество Q
рациональных чисел над полем Q с естественными операциями сложения и умножения на рациональное число.
Пример 4.2. Множество геометрических векторов на прямой с есте-
ственными операциями сложения и умножения на действительное число является примером простейшего векторного пространства.
Помимо этого пространства можно выделить векторное простран-
ство геометрических векторов, расположенных в некоторой плоско-
сти, или линеал всех геометрических векторов трехмерного про-
странства. О таких пространствах речь шла во второй главе нашего курса лекций.
152 |
Глава 4. Линейные пространства |
Пример 4.3. Множество всевозможных многочленов степени не
выше n от одной переменной образует линейное пространство над
R . В самом деле, для векторов
a a0 a1x a2 x2 ... an xn и b b0 b1x b2 x2 ... bn xn
определим сумму векторов и произведение вектора на число обыч-
ными равенствами:
a b a0 b0 (a1 b1 )x (a2 b2 )x2 ... (an bn )xn ,a a0 a1x a2 x2 ... an xn .
Очевидно, при таком определении выполняются все аксиомы ли-
нейного пространства. При этом нулевой вектор соответствует мно-
гочлену o 0 0x 0x2 ... 0xn , а вектор, противоположный вектору a , имеет вид
a a0 a1x a2 x2 ... an xn .
Отметим, что множество всех многочленов степени n (имеется в виду, что степень точно равна n) не является линейным простран-
ством над R .
Пример 4.4. Обозначим через X любое подмножество множества действительных чисел X R , а через F(X)— множество всех вещественнозначных функций, определенных на X . Сумму двух элементов f ,g F(X) и произведение f функции на число оп-
ределим «поточечно» обычными равенствами:
(f g)(x) f (x) g(x),
x X.
( f )(x) f (x),
Глава 4. Линейные пространства |
153 |
При таком определении нулевой элемент (вектор) — это функция,
которая равняется нулю во всех точках X , а элемент, противопо-
ложный вектору3 f , задается в каждой точке множества X ра-
венством f f (x). Нетрудно заметить, что все аксиомы линей-
ного пространства выполняются, и поэтому F(X) является линеа-
лом.
Аналогично линейное пространство над R образует множество
C a,b всех непрерывных на заданном отрезке a,b функций, а
также множество Ck a,b всех функций, имеющих на интервале
a,b производные порядка k .
Примеры перечисленных «функциональных» линейных про-
странств показывают, что в современном математическом анализе понятие линейного пространства играет не меньшую роль, чем в геометрии.
Пример 4.5. Рассмотрим множество Mm n (R)всех матриц размера m n с элементами из поля действительных чисел. Сумму двух мат-
риц и умножение матрицы на любое действительное число опреде-
лим равенствами:
3 На самом деле, здесь следовало бы использовать запись f и g , однако в
тех случаях, когда элементами линейного пространства являются функции или, например, матрицы, символ черты над элементом опускают.
154 |
Глава 4. Линейные пространства |
|
|
|||||
|
a11 b11 |
a12 b12 |
a1n b1n |
|
|
|||
|
a21 b21 |
a22 b22 |
a2n b2n |
, |
||||
|
A B |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
am2 bm2 |
|
|
|
|
|
am1 bm1 |
amn bmn |
|
|||||
|
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
||
|
A |
a21 |
a22 |
a2n |
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
am1 |
am2 |
|
|
|
|
|
|
|
amn |
|
|
Нетрудно заметить, что при таком определении выполняются все аксиомы линейного пространства. Попробуйте самостоятельно отве-
тить на следующие вопросы:
▪ какой объект линейного пространства Mm n (R)выступает в роли нулевого элемента?
▪ какой элемент пространства Mm n (R) является противо- |
|
положным элементу A? |
|
Пример 4.6. Пусть n |
есть произвольное натуральное число. Обо- |
значим символом Rn |
векторное пространство, элементами которого |
являются всевозможные конечные последовательности из nдейст-
вительных чисел. Произвольный элемент пространства Rn будем записывать в виде a (a1,a2 , , an ) и числа ai , i 1,2, n на-
зовем компонентами элемента a . Сумму двух таких конечных по-
следовательностей и произведение последовательности на число определим равенствами:
|
|
|
Глава 4. Линейные пространства |
155 |
|||
|
|
|
(a1 b1,a2 b2 , ,an bn ), |
|
|
( a1, a2 , , an ). |
|
a |
b |
a |
При таком определении нулевым вектором пространства Rn являет-
ся вектор o (0,0, ,0), а вектор, противоположный вектору a ,
имеет вид a ( a1, a2 , , an ). Пространство Rn часто еще называют пространством арифметических векторов. Это про-
странство будет в дальнейшем играть важную роль, поэтому на него необходимо обратить особое внимание.
Простейшие следствия аксиом линейного пространства
1.Линейное пространство имеет единственный нулевой вектор.
2.Для любого вектора a линейного пространства существует
единственный противоположный вектор.
3. Произведение числа 0 на вектор a совпадает с нулевым
вектором 0 a o .
4.Произведение любого действительного числа на нулевой вектор равно нулевому вектору o o .
5.Произведение числа 1 на вектор a равно противоположно-
му вектору ( 1) a a .
Мы не будем доказывать справедливость всех следствий, а по-
смотрим только, как доказываются первое и второе из них.
Доказательство первого следствия.
► Предположим, что линейное пространство имеет два различных нулевых вектора o1 и o2 . Тогда, полагая в третьей аксиоме сначала a o1, o o2 , а затем a o2 , o o1 , получим два равенства:
156 |
Глава 4. Линейные пространства |
||||||||
|
o1 |
o |
2 |
o1, |
o |
2 |
o1 |
o |
2 . |
В силу первой аксиомы линейного пространства левые части двух равенств совпадают, т.е. в левой части двух равенств мы имеем один и тот же
вектор, поэтому o1 o2 . ◄
Доказательство второго следствия.
► Пусть некоторый вектор a имеет два различных противоположных век-
тора — обозначим эти векторы символами b и c . Тогда по четвертой ак-
сиоме a b o и одновременно a c o . Покажем теперь, что b и c совпадают:
bb o b (a c) (b a) c (a b) c o c c .◄
4.2.Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного пространства
Понятие линейной зависимости и линейной независимо-
сти векторов
Пусть a1,a2 , ,am есть некоторый пронумерованный набор векто-
ров линейного пространства, а 1, 2 , , m — произвольные дей-
ствительные числа.
Определение 4.2. Вектор 1 a1 2 a2 m am называется
линейной комбинацией векторов a1,a2 , ,am .
Определение 4.3. Векторы a1,a2 , ,am называются линейно неза-
висимыми, если из равенства
Глава 4. Линейные пространства |
157 |
||||||||
1 |
a |
1 2 |
a |
2 |
m |
a |
m |
o |
(4.1) |
следует, что 1 2 m |
0. |
|
Определение 4.4. Векторы a1,a2 , ,am называются линейно зави-
симыми, если в равенстве (4.1) хотя бы один из коэффициентов
1, 2 , , m отличен от нуля.
В дальнейшем вместо слов «пронумерованный набор векторов» мы будем для краткости употреблять термин «семейство векторов».
При этом, например, слова «векторы линейно зависимы» или «се-
мейство векторов линейно зависимо» означают одно и то же — вы-
полнение условий определения 4.4.
Свойства линейно зависимых векторов
1) Если семейство векторов содержит нулевой вектор, то оно ли-
нейно зависимо.
► Пусть, например, нулевым является первый вектор семейства.
Тогда достаточно |
заметить, |
что |
линейная комбинация |
||||||||
1 |
o |
0 |
a |
2 0 |
a |
m |
|
o |
и один |
из |
коэффициентов линейной |
комбинации (1 при нулевом векторе) отличен от нуля. ◄
2) Если какая-нибудь часть элементов семейства a1,a2 , ,am ли-
нейно зависима, то тогда все семейство будет линейно зависимым.
► Предположим, что первые k векторов семейства линейно зави-
симы. Тогда, согласно определению 4.4,
1a1 2 a2 k ak o ,
158 |
Глава 4. Линейные пространства |
где, например, коэффициент 1 0. К левой и правой частям по-
следнего равенства можно прибавить следующий нулевой вектор:
0 ak 1 0 ak 2 0 am o ,
и тогда
1 a1 2 a2 k ak 0 ak 1 0 am o ,
причем 1 0. Поэтому векторы a1,a2 , ,am линейно зависи-
мы.◄ 3) Семейство векторов линейно зависимо тогда и только тогда,
когда один из векторов семейства можно представить в виде ли-
нейной комбинации остальных векторов.
► Пусть семейство векторов линейно зависимо. Это по определе-
нию означает, что один из коэффициентов в равенстве (4.1) отличен от нуля. Предположим, например, что коэффициент 1 0. Тогда вектор a1 можно выразить через остальные векторы:
|
a |
1 |
|
2 |
a |
2 |
3 |
a |
3 |
m |
a |
m . |
(4.2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Равенство (4.2) |
означает, что вектор |
a1 |
представлен в виде линей- |
|||||||||||
ной комбинации остальных векторов семейства. |
|
Предположим обратное, что один из векторов семейства , напри-
мер a1 , представлен в виде линейной комбинации остальных векто-
ров: a1 2a2 3a3 mam . Если теперь мы перенесем все слагаемые из правой части последнего равенства в левую, то придем