Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Втех случаях, когда уравнение имеет целые корни, их проще угадать

спомощью теоремы Виета, чем находить по формуле.

Упражнение 9. Угадайте корни квадратного уравнения 121 x2 + 127 x = = 19 из книги Аль Хорезми.

При применении этого приема к уравнению x2 + 2001x + 2000 = 0 могут возникнуть затруднения из-за большого числа возможных вариантов. Но легко заметить и без теоремы Виета, что один из корней равен −1. Второй корень находится уже с помощью этой теоремы: x2 = −2000. Заметьте, что использование формулы приводит к довольно громоздким вычислениям.

Но бездумное использование теоремы Виета может привести к ошибке, например, в следующей задаче.

Упражнение 10. Числа p и q – корни уравнения x2 + px + q = 0. Чему могут быть равны эти числа?

Действительно, применяя теорему Виета, получаем систему уравнений

(

p + q = −p; pq = q,

откуда имеем p = 1, q = −2p = −2; q = p = 0.

Но это не все решения! Дело в том, что если p = q =6 0, из условия ясно только, что p – корень уравнения, а про второй корень ничего не сказано. Поэтому проще теорему Виета не применять, а подставить x = p, q в уравнение и получить систему

(

2p2 + q = 0;

q2 + pq + q = 0,

откуда q1 = p1 = 0 и при q =6 0 имеем q = −p − 1, 2p2 − p − 1 = 0, значит, p2,3 = 1, −1/2, q2,3 = −2, −1/2.

Чтобы читатель не подумал, что он уже знает о квадратных уравнениях все, приведем несколько примеров любопытных задач, связанных с ними.

Упражнение 11. Проверьте справедливость следующей, правда, совершенно бесполезной с практической точки зрения, формулы для корней квадратного уравнения x2 + px + q = 0, именно

p ± cp p2 − 4q + 2q x1,2 = 2c + p p p2 − 4q .

В ней c – произвольный параметр, удовлетворяющий лишь условию 2c + p p p2 − 4q 6= 0,

3 Гашков

следующему соотношению (такие соотношения называют рекуррентными)

an+2 + pan+1 + qan = 0.

Действительно,

an+2 + pan+1 + qan = x1n+2 + x2n+2 + p(x1n+1 + x2n+1) + q(x1n + x2n) =

=x1n (x12 + px1 + q) + x2n (x22 + px2 + q) = 0.

Спомощью этого соотношения можно последовательно вычислять по формуле an+2 = −pan+1 − qan, нужно только знать первые два значе-

ния a0 и a1. Но a0 = x10 + x20 = 2, а a1 = x11 + x21 = −p по теореме Виета. Если вам не нравится формула a0 = x10 + x20, можно вместо нее взять

a2 = x12 + x22, результат будет тот же, но придется выразить a2 = x12 + x22 =

= (x1 + x2)2 − 2x1x − 2 = p2 − 2q.

Теперь уже легко найти a10 и вообще любое значение an, причем ясно, что это значение будет всегда целым числом, если p, q сами целые.

Но еще больший интерес представляет обратная задача. Пусть дана последовательность an, удовлетворяющая линейному рекуррентному

соотношению второго порядка

an+2 + pan+1 + qan = 0

и начальным условиям a0 = a, a1 = b. Надо найти явную формулу для этой последовательности. Частный случай (последовательность Фибоначчи) уже рассматривался нами ранее.

В общем случае действуем следующим образом. Заметим, что как уже было проверено выше, любая последовательность вида an = cx1n + dx2n, где xi – корни уравнения x2 + px + q = 0, а c и d – константы, удовлетворяет соотношению an+2 = −pan+1 − qan. Если корни xi различны, то для любых начальных условий a0 = a, a1 = b можно однозначно найти коэффициенты c, d, решив систему уравнений

(

c + d = a; cx1 + dx2 = b.

Тогда последовательность an = cx1n + dx2n совпадает с заданной, так как удовлетворяет тому же соотношению и тем же начальным условиям.

Упражнение 14. Проверьте, что в случае x1 = x2 последовательность an можно искать в виде cx1n + dnx1n, где c и d – константы.

3*

Задачи и упражнения к § 1.5

1.Решите уравнение Иоганна Мюллера *

x + 10 − x = 25.

10 − x x

2.Решите уравнение x2 + 1999x + 1998 = 0.

3.Решите уравнение 1999x2 + 1000x − 2999 = 0.

4.Если уравнение a + bx + cx2 = 0 имеет только действительные корни, то это же верно для уравнения a + bx + cx2/2 = 0.

5.Пусть x1, x2 – корни уравнения 1 + kx + x2 = 0. Найдите все k, при которых справедливо неравенство (x1/x2) + (x2/x1) > 1.

6.Найдите все a, для которых корни уравнения 4x2 − 2x + a = 0 заключены между −1 и 1.

7.Для каких a уравнение (3a + 2)x2 + (a − 1)x + 4a + 3 = 0 имеет один корень больше 3, а другой – меньше 2?

8.Если a, b, c – стороны треугольника, то уравнение

b2x2 + (b2 + c2 − a2)x + c2 = 0

не имеет действительных корней.

9. Сколько существует уравнений вида x2 − px − q = 0, где p и q – натуральные числа, положительный корень которых меньше заданного натурального числа r?

10*. Докажите, что если

(q2 − q1)2 + p12q2 + p22q1 − p1 p2 (q2 + q1) < 0,

то корень одного из уравнений x2 + pi x + qi = 0 лежит между корнями другого.

11. Если все корни уравнений x2 + pi x + qi = 0 по модулю меньше 1, то все корни уравнения x2 + (p1 + p2)x/2 + (q1 + q2)/2 = 0 по модулю меньше 1.

12. Если xi – корни уравнения x2 − 6x + 1 = 0, то x1n + x2n – целое число при натуральном n, не кратное 5.

13. Пусть xi – корни уравнения x2 + px + q = 0. Найдите квадратное уравнение с корнями x12n , x22n .

14. Пусть xi – корни уравнения x2 + px + 1 = 0, p – нечетное. Докажите, что x1n + x2n – целое число при любом натуральном n и (x1n + x2n,

x1n+1 + x2n+1) = 1.

* И. Мюллер (Johannes Müller, Regiomontanus, 1436–1476), по прозвищу Региомонтан – немецкий математик.

15.Пусть xi – корни уравнения ax2 + bx + c = 0. Найдите x1−3 + x2−3.

16.Найдите формулу для последовательности

an+1 = 3an − 2an−1, a1 = 1, a0 = 0. 17. Найдите формулу для последовательности

an+1 = 4an − 4an−1, a1 = 1, a0 = 0.

18*. Квадратный трехчлен ax2 + bx + c на отрезке [0, 1] принимает значения, не большие по модулю 1. Какое максимальное значение может иметь при этом сумма |a| + |b| + |c|?

19. Квадратный трехчлен при любом целом x принимает значения, равные четвертой степени натурального числа. Докажите, что он равен константе.

20*. Квадратный трехчлен при любом целом x принимает значения, равные квадрату натурального числа. Докажите, что он равен квадрату многочлена первой степени.

§ 1.6. Комбинаторика отображений

Далее с целью краткости будем использовать следующие общепринятые обозначения * (которыми постараемся не злоупотреблять).

Конечные множества будем задавать, перечисляя их элементы в фигурных скобках, например, {1, 3, 5}.

Произвольное множество A будем иногда задавать в виде {x : A(x)}, где A(x) – некоторое утверждение, которое является истинным тогда и только тогда, когда x принадлежит множеству A, например, конечное множество натуральных чисел {n, n + 1, . . ., m} можно определить и так: {x : n 6 x 6 m}. Используем также обозначения:

e является элементом множества E;

множество A является подмножеством множества E; объединение множеств A и B;

пересечение множеств A и B;

A \ B – разность множеств A и B, т. е. множество всех элементов из A, не принадлежащих множеству B.

В качестве упражнения пусть читатель проверит, что

A \ B = A \ (A ∩ B), A \ (A \ B) = A ∩ B, A B = A (B \ A).

Запись P Q будет означать, что из утверждения P следует утверждение Q (читается: «если P, то Q»). Сразу предупредим читателя,

* Теоретико-множественные обозначения и терминология, используемая далее, стали общепринятыми после работ Г. Кантора.

что если утверждение P ложно, то утверждение P Q в математике (но не всегда в философии) считается истинным независимо от истинности или ложности утверждения Q. (Действительно, из ложного утверждения можно логически безупречно вывести как истинные, так и ложные утверждения.)

Запись P Q будет означать, что утверждение P равносильно утверждению Q. Заметим, что P Q имеет место тогда и только тогда, когда P Q и Q P. Многие теоремы имеют вид равносильности двух утверждений (например, «P справедливо тогда и только тогда, когда справедливо Q»). Для их доказательства мы и будем пользоваться этим простым замечанием (а именно, предполагая верным P, выводить из него Q, а потом, предполагая верным Q, выводить из него P). Например, для доказательства равенства множеств A и B будем вначале доказывать, что A B (A содержится в B), а потом – что B A (B содержится в A).

Остальные обозначения будут вводится по ходу изложения. Пусть A1, . . . , An – конечные непустые множества.

Определение 11. Упорядоченный набор (a1, . . . , an), компоненты которого ai принадлежат множествам Ai , i = 1, . . . , n, назовем словом. Множество всех таких слов обозначим A1 × . . . × An и назовем декартовым * произведением множеств A1, . . . , An.

обозначение An, называемое декартовой степенью множества A.

П р и м е р ы. 1. Если множество A = E2 = {0, 1}, то его декартова степень An = E2n состоит из всех слов длины n, составленных из 0 и 1. Это множество называют n-мерным двоичным кубом.

2. Если множество A = Ek = {0, 1, . . ., k − 1}, то его декартова степень An = Ekn состоит из всех слов длины n, составленных из 0, 1 . . . , k − 1. Это множество называют n-мерным k-ичным кубом.

* Р. Декарт (René Descartes, 1596–1650) – великий французский философ и математик.