44 Оценка запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике

Запас устойчивости САР оценивают по величине перерегулирования:

 = (y_max - y_) / y_100, [%]

Варианты 	0 %	10..30 %	50..70 %
Применяемость	редко	часто	избегают
Запас по фазе	90°	60°..30°	30°..10°
Число колебаний	0	1, 2	3, 4, ...

Быстродействие САР оценивают по времени окончания переходного процессаt_п, при заданной допустимой ошибке (трубке):

 5; 2,5; 1,5; 1; 0,5; ... [%] от y_ , - установлено ГОСТ-ами.

Частоту единичного усиления разомкнутой системы_ср можно оценить по частоте колебаний переходной функции.

Примечание: При синтезе САР используют область допустимых отклонений регулируемой величины.

Время нарастания ограничено:

• t_н min - допустимым ускорением координат и предельными колебательными режимами;

• t_н max - требуемым быстродействием.

На рис. t_з - максимальное допустимое время запаздывания (распространения) сигнала.

Корневые методы оценки качества

Поскольку корни ПФ однозначно определяют вид переходного процесса, их можно использовать для оценки: 1) запаса устойчивости и, 2) быстродействия.

Примечание: Обычно обходятся исследованием только полюсов ПФ (s), т.е. корней характеристического уравнения 1+W(s)=0.

Система будет склонна к колебаниям, если имеются комплексные корни вида -±j. Оценить эту склонность можно используя показатель запаса устойчивости - колебательность:

 = , 

где:  - коэффициент затухания;  - круговая частота колебаний.

Колебательность определяет другой показатель - затухание амплитуды колебаний x(t) = Ce ^- t sin за период:

.

Задание определенной колебательности заставляет ограничить область расположения корней.

Колебательность системы  можно найти используя подстановку s = z e ^j(90-), что соответствует повороту осей плоскости корней на угол (90-). Далее, используя любой критей устойчивости, подбирают угол , при котором система будет находиться на границе устойчивости. И тогда:  = tg  = .

Для оценки быстродействия может использоваться понятие степени быстродействия - это абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Т.е. если этот корень -±j, то  равна коэффициенту затухания .

И действительно, составляющая в переходном процессе x_(t) = C_e ^-tsin(t+), затухает тем медленней, чем меньше . Если в конце переходного процесса амплитуда колебаний равна C_, то веремя переходного процесса:

.

Задание определенной степени быстродействия заставляет ограничить область расположения корней.

Степень быстродействия  можно найти используя постановку s = z - _var, что соответствует смещению корней на величину _var. Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают значение _var, при котором система будет на границе устойчивости. И тогда: _var.

Понятие о среднегеометрическом корне 0. Мажоранта и миноранта переходной функции

Пусть имеем характеристическое уравнение:

a₀ s ⁿ + a₁ s ^n-1 + ... + a_n-1 s + a_n = 0 .

Приведем его к нормированному виду (разделим на a_n и выполним подстановку):

q ⁿ + a₁/a_n (₀ q) ^n-1 + ... + a_k/a_n (₀ q) ^n-k +...+ 1 = 0 ,

где: - среднегеометрический корень.

Для статических САР a_n = 1 + K, для астатических a_n = K, a₀ = T₁ T₂ ... T_n; следовательно увеличивая K можно увеличить ₀. На основании теоремы подобия увеличение ₀ вызовет пропорциональное радиальное смещение корней. Т.е. вид переходного процесса меняться не будет, но будет меняться его временной масштаб. Поэтому среднегеометрический корень ₀ является мерой быстродействия.

Для приведенного уравнения время будет безразмерным  = ₀ t, переходная функция h(t) в случае кратных вещественных корней или одной пары комплексных будет ограничена минорантой и мажорантой:

1-(, t) < h(t) < 1+, t) ,

где: , t) = e ^-t [1 + (t)¹/1! + (t)²/2! + ... + (t)^n-1/(n-1)! ] - разложение в ряд Тейлора огибающей той составляющей в пререходном процессе, корень которой ближе к оси "+j".

На рис. демонстрируется, что любой переходный процесс в любой системе будет затухать тем медленней, чем больше корней вблизи оси "+j".