Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет геосистем и технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Dispersionnyy_analiz_ИПИС

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

365.79 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство сельского хозяйства РФ Департамент научно-технологической политики и образования

ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ:

«ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ»

Методическая разработка

Волгоград ИПК «Нива»

2010

УДК 519.2(075.3) ББК 22.17я72 К 67

РекомендованокизданиюкафедройвысшейматематикиВГСХА и учебно-методическимсоветомфакультетаэлектрификациис.х.

Корниенко, В.С.

К 67Математическая статистика. Решение задач потеме «Однофакторный дисперсионный анализ». Методическая разработка [Текст] /В.С. Корниенко; Волгогр. гос. с.-х. акад. Волгоград, 2010. 20 с.

Приведены необходимые теоретические сведения. Решено (в «ручном» режиме и с помощью Mathcad) достаточное число задач.

Для студентов специальности 110302 - «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства».

УДК 519.2(0.75.3) ББК 22.17я72

Дисперсионный анализ дает общую схему проверки статистических гипотез, основанную на тщательном изучении различных источников вариации [изменчивости, неоднородности] в сложной ситуации. Он позволяет оценить влияние одного или нескольких факторов на результирующий признак.

Предположения, лежащие в основе дисперсионного анализа, довольно жесткие и подчеркивают тот факт, что данный метод следует использовать только для таких зависимых переменных, которые были тщательно изучены и точно измерены. До тех пор, пока объемы выборок приблизительно равны, дисперсионный анализ может мириться с некоторым нарушением допущений модели. Но в ситуации выборок, сильно отличающихся по объему, следует воспользоваться другими методами (например, хиквадрат).

На практике часто встречается ситуация, когда можно указать один фактор, влияющий на конечный результат, и этот фактор принимает конечное число значений. Такая ситуация может быть проанализирована при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

I. Теоретические сведения

1. Условия применимости

Дисперсионный анализ был предложен Р. Фишером* для решения некоторых задач в области биологических исследований, в частности в сельскохозяйственной статистике. В настоящее время дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оцен-

ки влияния различных факторов на результат эксперимента, в связи с чем, область применения этого метода становится значительно шире. Результатом эксперимента является некоторая случайная величина X, называемая также результативным признаком. На значения случайной величины X влияет фактор A, состоящий из нескольких уровней [групп] Ai , i 1,r.

Рассмотрим простой пример. Директора фирмы интересует зависимость выполненных работ за смену от работающей на стройке бригады. Предположим, что на стройке работают r бригад. Объем выполненных работ является результативным признаком X, работающую бригаду назовем фактором A, а через Ai обозначим i й уровень [группу] фактора A (i ю

бригаду, i 1,r).

* Фишер Роналд Эймлер (1890-1962) – английский математик, генетик и статистик. Исследования относятся к математической статистике.

xi, j

В дисперсионном анализе наблюдаемые величины разбиваются на r

групп, причем i я группа содержит выборку из ni , i 1,r, величин Xi N a mi , 0 , где 0 является постоянной, хотя и неизвестной величиной, не зависящей от i.

Обозначим через xi, j значение j й величины в i й группе. Модель однофакторного дисперсионного анализа можно записать в виде

xi, j a mi i,j , (1)

где a - генеральное среднее всех мыслимых результатов наблюдений, т.е. M(X) , mi - эффект влияния на X , вызванный i-м уровнем фактора A, или, иначе, отклонение математического ожидания ai результативного признака при i-м уровне фактора от общего математического ожидания a, т.е. mi ai a; i, j - случайный остаток, отражающий влияние на величину

всех других неконтролируемых факторов.

Основными предпосылками дисперсионного анализа являются: 1) Остатки i, j взаимно независимы для любых i и j .

2) i, j N 0, 0 и 0 не зависит от i и j .

Средние значения mi в (1) могут меняться под влиянием некоторых факторов, например, под влиянием различных способов обработки, различных видов животных или растений, неоднородности почвы и т.д. Целью эксперимента является исследование этой изменчивости средних значений (например, гипотеза H0 о их равенстве).

2. Разложение суммы квадратов отклонений

Несмещенной оценкой для неизвестной дисперсии σ2 является, как известно, сумма квадратов

r	ni
Q xi, j		x	2 ,	(2)
i 1	j 1
деленная на n 1, где	r
	r
n ni				(3)
	i 1

количество всех наблюдений.

Основная идея дисперсионного анализа заключается в разбиении этой суммы квадратов отклонений на несколько компонент, каждая из которых соответствует предполагаемой причине изменения средних значений mi .

Обозначим через

		1		ni
x	i	1		xi, j	(4)
x	i			xi, j	(4)
		n	i
			i	i 1

- среднее арифметическое величин i-й группы, через

Q Q1 Q2 .

	1	r	ni
x		xi, j		(5)

	n i 1		j 1

- среднее арифметическое всех величин. Тогда справедливо тождество

r ni

xi, j

i 2 ,

(6)

i 1 j 1

i 1

i 1 j 1

или

(7)

Таким образом, полная сумма квадратов отклонений от общего среднего Q разбивается на две компоненты: Q1 - сумма квадратов между группами, Q2 - сумма квадратов внутри групп. Если поделить обе части равенства (6) на число наблюдений n, то получим известное правило сложения дисперсий:

DОБЩ DВНГР DМЕЖГР ,

где

ОБЩ

1 n

;

ВНГР

ГРj ;

n i 1

ГР

j 2

;

МЕЖГР

2 .

n i 1

П р и м е р. Дана совокупность, состоящая из следующих двух групп:

x	3	1	4	n1		2	6	n2	n
Частота	2	5	3	10		4	5	9	19

Необходимо доказать, что DОБЩ DВНГР DМЕЖГР . Р е ш е н и е. Дано: n1 10, n2 9.

Найдем групповые средние:

	1	1	(3 2 1 5 4 3) 2,3;		2	1	(2 4 6 5) 4,222.
x				x
		n1				n2

Найдем групповые дисперсии:

	ГР1		1	(3		1)2 2 (1		1)2 5 (4		1)2 3 1,81;
D					x		x		x
		10

DГР2 1 (2 x2 )2 4 (6 x2 )2 5 3,951. 9

Найдем внутригрупповую дисперсию:

ВНГР

ГР1 n

ГР2 ) 2,824.

n n

Найдем общую среднюю:

(3 2 1 5 4 3 2 4

6 5) 3,2.

n1 n2

Найдем общую дисперсию:

	ОБЩ		1	(3				)2 2 (1			)2 5 (4							)2 3 (2						)2 4 (6		)2 5 3,745.
D							x			x							x						x		x
		19

Найдем межгрупповую дисперсию:
						МЕЖГР			1			(		1		)2 10 (				2		)2 9 0,921.
					D								x		x				x		x

n1 n2

Убедимся, что общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

DОБЩ DВНГР DМЕЖГР = 2,824 + 0,921 = 3,745.

Решим этот пример с помощью Mathcad. Введем данные:

ORIGIN 1

G stack(G1 G2)

n1 G1 2

n2 G2 2

Найдем средние:

xs1

G1 1 G1 2

xs2

G2 1 G2 2

xso

G 1 G 2

Найдем дисперсии:

G1 1 xs

2 G1 2

G2 1 xs 2

G2 2

n D

xso

DvG

DmG

(xs xso)

Выведем результаты:

	10	2.3	xso 3.211		1.81
n		xs	xso 3.211	D
	9	4.222		3.951
Do 3.745		DvG 2.824	DmG 0.921

Проверим выполнимость правила:

Do DvG DmG 1

Здесь G1 – первая группа; G2 – вторая группа; G – общая группа; xs1 – средняя группы G1; xs2 – средняя группы G2; xso – средняя группы G; D1 – дисперсия группы G1; D2 – дисперсия группы G2; Do – дисперсия группы G; DvG – внутригрупповая дисперсия; DmG – межгрупповая дисперсия.

3. Критерий Бартлетта

Одним из условий применения дисперсионного анализа является ра-


венство генеральных групповых дисперсий i2																						02 , i 1,r.
Проверим гипотезу H0: 12									22						... r2							с помощью критерия Барт-
летта.
Для этого выполним следующую последовательность расчетов.
1. Найдем несмещенные оценки																Si2			групповых дисперсий по форму-
ле									niSi2
															,		i				.													(8)
				Si2
																				1,r
																				1,r
									ni			1
2. Найдем общую несмещенную оценку дисперсии:

		(n 1)S2			(n						2		1)S				2		... (n				r		1)S2
		(n 1)S2			(n								1)S				2		... (n						1)S2
	S2	1		1													2												r	.				(9)
	S2		(n1 1) (n2											1) ... (nr									1)							.				(9)
3. Вычислим			(n1 1) (n2											1) ... (nr									1)
3. Вычислим																																	1
	1	1			1														1								1						1	(10)
q 1	1	1			1														1								1
				n		1					... n								1			(n		1) ... (n
	3(r 1) n 1			n	2	1					... n							r	1			(n		1) ... (n							r	1) .
		1			2													r					1								r
4. Вычислим статистику Бартлетта:

										2															S	2
	q (n1		1)ln				S						... (nr 1)ln												S			.						(11)

										2
										2																2
								S1																Sr

Статистика при ni 3, i 1,r, и справедливости гипотезы H0 имеет распределение, близкое к r2 1 , что дает возможность проверить гипотезу H0 описанными ранее способами.

4. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних

Пусть H	:	m m, i		. Заметим, что величина		Q	, являющая-
					S2
			1,r

0		i				n 1

ся несмещенной оценкой для σ2, всегда будет иметь распределение χ2 с

n 1 степенями свободы и по ней можно построить доверительный интервал для σ2.

Если гипотеза H0 верна, то величины

	1	Q и		1	Q		(12)
S2			S2
ф	r 1	1	0	n r		2

будут иметь распределение Фишера с r 1 и n r степенями свободы, соответственно, при этом Sф2 и S02 являются несмещенными оценками для межгрупповой дисперсии 02 .

Отношение

r 1Q1 (13)

n r Q2

называется дисперсионным отношением и, если гипотеза H0 верна, то статистика имеет распределение Фишера с r 1, n r степенями свободы. В этом случае эффекты влияния уровней фактора A будут нулевыми, т.е. m1 m2 ... mr 0, а оценка параметра a равна общему среднему x, вычисленному по формуле (5). Проверка гипотезы H0 о равенстве групповых средних проводится по схеме, изложенной ранее. Если же гипотеза H0 отвергается, то параметр a по-прежнему вычисляется по формуле (5), а оценка эффекта mi влияния i-го уровня фактора равна

mi xi x,

(14)

где xi определяется по формуле (4), а x - по формуле (5). Проверка гипотезы H0 о равенстве групповых средних проводится по схеме, изложенной ранее.

5. Коэффициент детерминации

Предположим, что фактор A влияет на результативный признак X . Для измерения степени этого влияния используют выборочный ко-

эффициент детерминации, равный

	Q1	,	(15)
d

	Q

который показывает, какую долю выборочной дисперсии составляет дисперсия групповых средних, иначе говоря, какая доля общей дисперсии объясняется зависимостью результативного признака X от фактора A.

6. Сводка формул

Изложенные выше формулы для решения задач однофакторного анализа приведем в табл. 1.

При вычислении сумм квадратов Q, Q1 , Q2 часто удобно при ni n0 использовать следующие формулы:

r n0

xi, j

i 1 j 1

(16)

n0r

xi, j

i 1

xi2, j

j 1

(17)

i 1

j 1

xi, j

i 1

Q xi2, j

j 1

(18)

n0r

i 1

j 1

Т а б л и ц а 1

Компоненты

Сумма квадратов

Число степеней

Оценки дисперсии

дисперсии

свободы

Межгрупповая

ni xi

x 2

r 1

Sф2

i 1

r 1

Внутригруп-

n r

повая

Q2 xi, j

xi 2

S02

n r

i 1

j 1

Общая

Q xi, j

x 2

n 1

i 1

j 1

n 1

II. Задачи

Задача 1. В табл. 2 приведены данные по объемам работ, выполненных на стройке за смену для четырех бригад.

			Т а б л и ц а 2
Номер	Объем выполненной	Групповое	Выборочная
бригады	работы	среднее	смещенная
			дисперсия
1	140, 144, 142, 145	142,75	3,688
2	150, 149, 152, 152	150,75	1,688
3	148, 149, 146, 147	147,50	1,25
4	150, 155, 154, 152	152,75	3,688

Выполняются ли для этих данных условия проведения дисперсионного анализа?

Р е ш е н и е. Будем считать, что результаты выработок не зависят друг от друга и имеют нормальное распределение. Проверим по критерию Бартлетта гипотезу о равенстве групповых дисперсий. В нашем случае

r 4, ni 4, (i 1,4), n 16.

1. Найдем несмещенные оценки дисперсий по формулам (8):

			S	2n			3,688 4			4,917;		S2			n		1,688 4	2,251;
S2											S2					2
				1	1								2
1		n 1				3					2	n		2	1		3
	1
			S32		n3			1,25	4	1,667;		S42			n4		3,688 4	4,917.
S32											S42
			n3		1							n4			1		3
						3

2. По формуле (9) найдем общую несмещенную дисперсию:

	(n 1)S2				... (n				1)S2					3 4,917 2,251 1,667 4,917									3,438.
S2	(n 1)S2				... (n			4	1)S2					3 4,917 2,251 1,667 4,917
		1	1					4			4
		(n1 1) ... (n4							1)									3 4
		(n1 1) ... (n4							1)									3 4
3. По формуле (10) найдем параметр																				1
		q				1			1		1		1			1		1		1	0,878.
			1
			1								3		3			3
						3(4 1) 3					3		3			3	3 3 3 3
4. Вычислим статистику для критерия Бартлетта:
					3,438					3,438							3,438				3,438		3,986.
					3,438					3,438							3,438				3,438
							3ln									3ln			3ln
0,878 3ln							3ln									3ln			3ln
				4,917						2,251							1,667			4,917
Проверим гипотезу H0: 12												... 14					на уровне значимости 0,05. По
таблицам	распределения								32		при				0,05			находим			32,кр	7,82. Так как
3,986 32,кр , то гипотезу H0 принимаем.

Mathcad-контроль:

Сперва проверим результаты 3-го и 4-го столбцов табл. 2:

		140			150			148			150
		144			149			149			155
G1		144	G2		149	G3		149	G4		155
G1	142		G2	152		G3	146		G4	154
		145			152			147			152
		145			152			147			152

mean(G1) 142.75	mean(G2) 150.75		mean(G3) 147.5
mean(G4) 152.75	var(G1) 3.688		var(G2) 1.688
var(G3) 1.25	var(G4) 3.688
Теперь найдем несмещенные оценки дисперсий:
Var(G1) 4.917	Var(G2) 2.25	Var(G3) 1.667
Var(G4) 4.917

Вычисляем общую несмещенную дисперсию:

Var(G1) Var(G2) Var(G3) Var(G4)

3.438

Вычислим параметр q:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20163.39 Mб74Chemistry.pdf
#
27.03.20161.58 Mб283CREDO_DAT 4.10. Руководство пользователя.pdf
#
07.09.20192.4 Mб9dashkov_l_p_pambuhchiyanc_v_k_kommerciya_i_tehn...doc
#
27.03.20162.37 Mб551Diplom.docx
#
27.03.20162.87 Mб50DiplomМОЖО НА ПРОВЕРКУ..doc
#
27.03.2016365.79 Кб30Dispersionnyy_analiz_ИПИС.pdf
#
27.03.20162.05 Mб33document.doc
#
27.03.2016339.22 Кб24Domashnyaya_zadacha_2.docx
#
27.03.201638.79 Кб44Economy.docx
#
27.03.2016360.4 Кб34file_464342.rtf
#
27.03.201642.98 Кб63filos.docx

		140			150			148			150
		144			149			149			155
G1		144	G2		149	G3		149	G4		155
G1	142		G2	152		G3	146		G4	154
		145			152			147			152
		145			152			147			152

		140			150			148			150
		144			149			149			155
G1		144	G2		149	G3		149	G4		155
G1	142		G2	152		G3	146		G4	154
		145			152			147			152
		145			152			147			152

		140			150			148			150
		144			149			149			155
G1		144	G2		149	G3		149	G4		155
G1	142		G2	152		G3	146		G4	154
		145			152			147			152
		145			152			147			152