- •Теория математической обработки геодезических измерений
- •1Теория погрешностей
- •Обработка и анализ измерений одной величины
- •Моделирование погрешностей измерений
- •Скп функции измеренных величин
- •Вес функции некоррелированных измерений
- •Обработка ряда прямых, некоррелированных, равноточных измерений одной величины.
- •Обработка ряда прямых, некоррелированных, неравноточных измерений одной величины.
- •Дополнительные вопросы обработки рядов измерений одной величины.
-
Скп функции измеренных величин
Задача по установлению связи между СКП функции измеренных величин, ковариационная матрица которых оценена, и показателями точности и коррелированности её аргументов решена в курсе «ТВ и МС». Имея в своём распоряжении упомянутую формулу связи, мы можем решать две задачи: «прямую» и «обратную». В свою очередь, в рамках «прямой задачи» можно либо предвычислять СКП функции по предполагаемым (предписываемым) СКП аргументов σi и соответствующим ковариациям Kij, либо оценивать СКП функции по полученным из результатов наблюдений оценкам СКП аргументов mi и ковариаций Kij. Прямая задача имеет частный случай, когда аргументы функции не коррелированны. В пределах этого ограничения и рассматривается «обратная задача» по предвычислению СКП стохастически не связанных аргументов по требуемой СКП их функции.
Прямая задача.
Дано:
z = f(x1, x2, …, xn), (R.1)
дифференцируемая функция случайного вектора, аргументы которого получены по результатам измерений, характеризующимся некоторой оценкой ковариационной матрицы KX вектора измерений X1nT = (x1, x2, …, xn)
. (R.2)
Предполагается, что оценки дисперсий mi2 и корреляционных моментов «Kij» найдены по данным соответствующих наблюдений по формулам
= , (R3)
где v = x, ni – объём наблюдений, выполненных для оценивания i-ой СВ, и
Kij = . (R4)
Найти: mZ ?
Решение:
Опираясь на теорему о дисперсии дифференцируемой функции случайного вектора, мы считаем допустимым существование аналогичных связей между несмещёнными оценками этих же параметров:
. (R.5)
Когда аргументы случайного вектора измерений не коррелированы попарно, формула R.5 упрощается, теряя слагаемые второй суммы, содержащие нулевые множители Kij=0, :
(R.6)
Обратная задача (для некоррелированных аргументов!).
Дано:
z = f(x1, x2, …, xn) –
дифференцируемая функция СВ, аргументы которого не коррелированы,
а mZ – СКП этой функции, которую необходимо гарантировать, организовав измерения X1nT = (x1, x2, …, xn) с неизвестными СКП mi.
Найти:
mi – ? .
Решение:
Воспользуемся связью R.6: .
Одно уравнение R.6 содержит «n» неизвестных. Следовательно, оно имеет бесчисленное множество решений. Для выбора некоторого определённого варианта прибегают к дополнительным ограничениям, накладываемым на искомые неизвестные (СКП mi).
1) Принцип равных СКП.
mi = mj = m (R.7)
Решая R.6 под условием R.7, получаем такой вариант ответа:
(R.8)
2) Принцип равных влияний.
(R.9)
Решая R.6 под условием R.9, получаем другой вариант:
(R.10)
3) Принцип имеющихся возможностей.
Пусть, кроме заданной СКП функции mZ, мы имеем возможность измерить «k» аргументов с известными СКП mi. Тогда, оставшиеся (n – k) аргументов mj, можно определить, исходя из следующих преобразований:
(R.11)
. (R.12)
Далее, если , то задача решается либо по принципу равных СКП (R.8), либо по принципу равных влияний (R.10). Когда же , то имеющиеся возможности mi не позволяют решить задачу, т.е. инструментальный парк, которым располагает исполнитель, не обеспечивает выполнение поставленной задачи. Отметим, что и в первом случае при , найденные СКП mj могут оказаться слишком малыми величинами, не поддерживаемыми реальной аппаратурой.
-
Вес. Средняя квадратическая погрешность единицы веса.
Существует ещё один обобщённый показатель точности измерений, широко распространённый в геодезических и астрономических вычислениях. Он называется «вес» и представляет собой величину, обратно пропорциональную дисперсии:
P = c / . (P.1)
Коэффициент пропорциональности «с» – это дисперсия измерений, вес которой принимается равным единице, или, более кратко, дисперсия единицы веса (ДЕВ). Таким образом
с = . (Р.2)
Величина – это стандарт, с весом равным единице.
Практически мы всегда имеем дело не с дисперсиями, а с их оценками, квадратами СКП:
P = c / m. (P.3)
с = μ2 = (Р.4)
Положительное значение квадратного корня из коэффициента пропорциональности «с» называют «средней квадратической погрешностью (СКП) измерений, вес которых принят за единицу» или более лаконично – «СКП единицы веса».
Веса могут быть безразмерными, если мы имеем дело с однородными величинами. Когда же совокупность измерений – разнородный массив, то одна группа весов будет безразмерной, а другие – размерными, что необходимо учитывать как при выводе формул, так и при вычислениях.
Из формулы (Р.3) следует, что веса измерений, определяемые в едином масштабе «с», обратно пропорциональны квадратам соответствующих СКП:
. (Р.5)
Формула (Р.3), учитывающая введённое обозначение (Р.4), позволяет выразить СКП измерений «m» через СКП единицы веса «» и вес этих измерений «Р»:
m = *. (P.6)