3. Постановка задачи о выборе оптимального плана.

При активном планировании эксперимента статистический материал, необходимый для получения оценок неизвестных коэффициентов, набирается по определенной программе исследований. Программа исследований задается экспериментальным планом, удовлетворяющим некоторому критерию оптимальности. Для этого необходимо задаться уравнением регрессии, пространством планирования и критерием оптимальности. Часть пространства входных переменных Х, в которой возможно проведение эксперимента называется пространством планирования. Задача построения точного оптимального плана заключается в определении такого расположения заданного числа N экспериментальных точек в пространстве планирования, при котором выполнялся бы один из критериев оптимальности. Таким образом, точный план определяется конечным числом точек проведения наблюдений,причем необязательно отличных друг от друга. При этом существенное условие заключается в том, чтобы число точек, в кото­рых концентрируется точный план, было по крайней мере не меньше числа неизвестных коэффициентов уравнения регрессии.

4. Понятие о плане эксперимента.

Экспериментальные планы делятся на точные и непрерывные. Точные оптимальные планы — это планы, оптимальные при заданном числе наблюдений N. Задача отыскания точного опти­мального плана сводится к нахождению такого расположения N точек Х_i (i = 1, 2,...,N) в пространстве планирования, при кото­ром выполняется соответствующий критерий оптимальности. Точный ненормированный план может быть также представ­лен в виде совокупности величин

Точный нормированный план представляется совокупностью

Точные планы могут быть построены по различным критериям оптимальности. При построении экспериментальных планов все чаще используются критерии оптимальности, связанные с величинами дисперсий оценок неизвестных коэффициентов уравнения регрессии.

А-оптимальность. План называется А-оптимальным, если он минимизирует след ковариационной матрицы. Минимизация следа ковариационной матрицы соответствует минимизации средней дисперсии оценок коэффициентов. Минимизация следа ковариационной матрицы соответствует максимизации следа информационной матрицы Фишера, что и делается на практике.

D-оптимальность. План называется D-оптимальным, если он минимизирует значение определителя соответствующей ему ковариационной матрицы. Минимизация определителя кова­риационной матрицы соответствует максимизации определителя информационной матрицы Фишера.

Предположим, что число наблюдений равно числу неизвест­ных коэффициентов уравнения регрессии. Уравнение регрессии в матричной форме имеет вид

(4.6)

Где Y — (k+1)-мерный вектор-столбец наблюдений;

F — (k+1)x(k+1)-матрица значений функций f в (k + 1)-м наблюдении;

Θ — вектор-столбец оценок коэффициентов регрес­сии.

Из уравнения (4.6) можно получить оценки коэффициентов

(4.7)

Чувствительность оценок θ к небольшим изменениям элементов вектора Y можно определить выражением

(4.8)

Подставляя (4.7) в (4.8), будем иметь

(4.9)

так как известно, что

(4.10)

где I — единичная матрица размерности (k+ 1)x(k + 1).

В общем случае, когда матрица F прямоугольная, чувстви­тельность по уравнению (4.9) определить не представляется возможным, так как для прямоугольных матриц понятия обрат­ной матрицы не существует. Для устранения указанного затруд­нения умножим обе части (4.6) слева на . В результате полу­чим систему нормальных уравнений в матричной форме:

(4.11)

Системы (4.6) и (4.11) эквивалентны. Случайному вектору Y в системе (4.6) соответствует случайный вектор

(4.12)

в системе (4.11). Поэтому чувствительности решения θ по отно­шению к случайному вектору Y в системе (4.6) соответствует чувствительность θ по отношению к случайному вектору Z в системе (4.11). Учитывая, что решением системы (4.11) является

(4.13)

получим

(4.14)

Таким образом, чувствительность оценок θ к случайным возмущениям выражается ковариационной матрицей С. Обратная ей матрица, называется информационной матрицей Фишера.

(4.15)

Экспериментальный план желательно выбрать так, чтобы он обеспечивал минимальную чувствительность решения (4.13) к случайным возмущениям. Ясно, что чувствительность, опре­деленная в виде (4.14), мало пригодна для целей выбора опти­мального плана, так как не дает возможности численного сравнения чувствительности решения (4.13) при различных планах. Поэтому в качестве численной меры чувствительности следует принять одну из численных характеристик ковариацион­ной матрицы.