- •1.3 Пара сил. Момент силы относительно точки.
- •1.4 Теорема Пуансо.
- •1.5 Теорема Вариньона.
- •Кинематика
- •2.1 План скоростей
- •Мгновенный центр скоростей (мцс). Примеры определения мцс.
- •Поступательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки).
- •Вращательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки).
- •Передаточные механизмы
- •Динамика.
- •3.1 Сила инерции материальной точки.
- •3.2 Принцип Даламбера
- •3.3 Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду
-
Передаточные механизмы
Передаточные механизмы передают движение от одного тела к другому. Параметры движения тел определяются с учетом параметров точек соприкосновения (зацепления) этих тел. На рисунке 14 (а, б, в, г) приведены различные схемы передачи движения от одного тела к другому.
Рис.14
На рисунках 14,а и 14,б зависимости угловых скоростей колес определяются из соотношения Vc=ω1⋅ r1=ω2⋅ r2, т.е.
ω1/ω2=r2/r1
На рисунке 14,а (внешнее зацепление) колёса вращаются в противоположные стороны, на рисунке 14,б (внутреннее зацепление) колеса вращаются в одну сторону.
На рисунке 14,в показана цепная (ременная) передача. Скорости точек A и B цепи должны быть равны соответственно скоростям точек A и B , принадлежащих шкивам:
VA=ω1⋅ r1=VB=ω2⋅r2, ω1/ω2=r2/r1. На рисунке 14,г поступательное движение стержня обеспечивает вращение колеса:
VA=VC=ω⋅r, ω=VA/r
Рис.15
На рисунке 15 изображена фрикционная передача: колесо 1, прижимаясь к торцу колеса 2 в точке C, обеспечивает его вращение вокруг вертикальной оси.
VC=ω1⋅r1=ω2⋅d, ω1/ω2=d/r1
-
Динамика.
3.1 Сила инерции материальной точки.
Материальная точка (тело) всегда оказывает сопротивление изменению состояния движения - изменению величины или направления скорости. Сила, с которой точка сопротивляется изменению движения, называется силой инерции материальной точки. Сила инерции направлена противоположно ускорению точки и равна массе, умноженной на ускорение. В криволинейном движении сила инерции состоит из двух составляющих: касательной, направленной противоположно скорости при ускоренном движении и по скорости при замедленном движении, и нормальной (центробежной), направленной противоположно центростремительному ускорению и равной массе, умноженной на центростремительное ускорение: Qц = m*an.
Рис.16
В круговом движении точки центробежная сила инерции направлена по радиусу от центра (фиг. 48) и равна
Qц=mRω2=0,00112GRn2 (G в кг, R в м, n в об/мин.)
В равномерном движении точки имеется только центробежная сила инерции. Сила инерции тела равна массе тела, умноженной на ускорение центра тяжести тела: Q= m*ac.
Сила инерции тела = Масса * Ускорение центра тяжести. Сила инерции вращающегося тела передается на подшипники, вызывая дополнительную нагрузку на них.
3.2 Принцип Даламбера
Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики — способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.
Принцип Даламбера для материальной точки.
Пусть материальная точка массы m совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы Fa и реакции связи R (рис. 17).
Рис. 17.
Определим вектор численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор Fu имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.
Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.
Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:
Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и, наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор Fu в другую часть равенства и -Fu заменяя на ma, получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначение –ma= Fu, получаем запись принципа Даламбера.
Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме — в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.
Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.
Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы m с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 18). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.
Рис. 18.
Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана L. Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол . Раскладывая ускорение точки а на касательное ()и нормальное представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:
Касательная составляющая силы инерции имеет модуль =mdv/dt и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая — модуль m/R и направлена противоположно нормальному ускорению.
Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе mg и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики
Проектируя это векторное уравнение на направления касательной и главной нормали, получаем два уравнения кинетостатики в скалярной форме:
Из второго уравнения находим
Реакция N окончательно найдется после того, как будет определена величина v и подставлена в это выражение.
Для определения v служит первое уравнение, которое является дифференциальным уравнением и требует интегрирования. Однако можно избежать интегрирования, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Применяя эту теорему для точки М на участке траектории и учитывая, что T=m/2, =m/2=0, A=mgR(1-cos) (работу совершает только сила тяжести), получаем:
Отсюда находим
и далее
В момент отделения от купола реакция N равна нулю. Следовательно, точка сойдет с купола при