Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

552.22 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

X				Rn	n
h : U −→ Rn				X	U Rn(U, h)	U X		n
		U					R
			U X			(U, h)
			p U
			h
		p	(x1(p), . . . , xn(p)) = h(p) Rn ,			xi(p) R.
			−
			←→1
			h
			xi(p), i = 1, . . . , n		U
		(U, h)		(U, h)		(U, x1, . . . , xn ) = (U, xi)
		W = U ∩ V =		(U, h) = (U, xi) (V, k ) = (V, yi) X Cr
		W = U ∩ V =
			h(W )	k(W )	Rn
C	r		(k\|W ) ◦ (h\|W )−1 : h(W ) −→ k(W )
C
								p W
			p ←→ x1(p), . . . , xn(p) ,		p ←→ y1(p), . . . , yn(p)

y = φ(x) (y = ((k ◦ h−1) x )

y = φ(x)

{(Uα, hα)}	Cr	X
Cr

αUα = X

A A

CrX

(X , A)

(X , A )

(Yr

, A )

X = Y

C∞

Rn+1

(x1)2 + . . . + (xn+1)2 = (D/2)2

Yn n

xn+1 = ±(D/2)

Rn+1

xi, i = 1, . . . , n

n+1

S = (y

n+1

xi → yi

= (x

= 0, x

= (D/2))

= 0, x

= −(D/2))

p S

			xn+1
P 2			p
S			Xn
yi			N
i	} i		p 6= S
{x	} i	}	p 6= N
	{y	}	N 6= p 6= S

{xi}

		yi = f(x)xi.
p		p

x = (x1)2 + . . . + (xn)2, y = (y1)2 + . . . + (yn)2

x/D = tg α, y/D = ctg α				xy = D2
xi					xy = D2
i		D2	i	i	D2		i
y	=		x	←→ x =			y	.
y	=	x2	x	←→ x =		y2	y	.
{yi}				{xi}

P 2

{yi}

f(x)x2

hα Vα Vα

Uα

{xi} {yi}		Sn
{xi} {yi}					Sn
					Rn
					(−)
	Rn			(x1, . . . , xn)	x1 ≤ 0
Y	n	{(Uα, hα)}			X
Y		{(Uα, hα)}
	Uα	n		X \ Y
hα : Uα −→ R			Rn		Uα
	( )		Uα	∩ Y
	( )		1	∩ Y
R	n		Uα
R	−		Uα
			x	= 0	hα ◦ hβ−1 ≡ hαβ
{( Uα, hα)} {(Uβ, hβ )}				X Uα ∩ Uβ 6=	hα ◦ hβ−1 ≡ hαβ
				hβ(Uα ∩ Uβ)	hα(Uα ∩ Uβ )
		hαβ			Y
				Uα ∩Y	Y
hα\|Uα∩Y				Uα ∩Y	Y
hα\|Uα∩Y		∂X		Y	Y
	X	∂X			∂X
(n − 1)					X
	X = X \ ∂X			∂∂X =	X
	Uα ∩ ∂X =			∂∂X =
	Uα ∩ ∂X =

			Rn
xi, i = 1, . . . , n			Rn
xi(t), i = 1, . . . , n			vi = x˙ i(t0)
xi(t0)
i′	i′	1	n
x	= x	(x , . . . , x )

xi′ (t) = xi′ ( x1(t), . . . , xn(t) )

vi′ = x˙ i′ (t0)

i′		∂xi′	i
x˙	=		x˙	,
x˙	=	i	x˙	,
		∂x

	vi	′	=	∂xi′	0 vi.
	vi		=	∂xi	0 vi.
A(p)						X	p
X	p					X
X	p
	V : A(p) −→ Rn,
( U, h ) = ( U, x1, . . . , xn )			( U′, h′ ) = ( U′, x1′ , . . . , xn′ )				A(p)
V (U, h ) = (v1, . . . , vn ) V ′(U′, h′ ) = (v1′ , . . . , vn′ )							Rn
	vi	′	=	i′	p	vi.
	vi		=	∂xi	p	vi.
				∂x
vi	V
(U, h )					V = (v1, . . . , vn)
TpX						X	p
TpX						X	X
p						X

(V + W )(U, h) = V (U, h) + W (U, h),

(λV )(U, h) = λV (U, h)

V, W TpX , λ R

V = (v1, . . . , vn), W = (w1, . . . , wn),

V + W = (v1 + w1, . . . , vn + wn),

λV = (λv1, . . . , λvn).

TpX Rn

(U, h) V = (v1, . . . , vn)

						Rn			(v1, . . . , vn)
						TpX −→ Rn
	(U, h)
			V (U, h ) 7→(v1, . . . , vn ) Rn,
vi, i = 1 . . . , n							V		(U, h)
							Rn
	V (U, h)					(U, h)
	(U′, h′) A(p)
	Rn								e1, e2, . . . , en
	Rn			p ,		∂x2 p , . . . ,		∂xn p .
	∂x1			p ,		∂x2 p , . . . ,		∂xn p .
			∂				∂		∂
V TpX							TpX
V TpX	1			n	) (U, h)
(U, h)	V = (v	, . . . , v			) (U, h)

V = vi ∂ , ∂xi p

∂

∂xi

∂

∂xi′

∂xi

n m

f : X −→ Y

p n X

, . . . , y

)

q = f(p) Y

X Y

(U, h) = (U, x , . . . , x ) (V, k) =

(V, y

p U f(U) V

yj = fj ( x1, . . . , xn),

j = 1, . . . , m,

V ( U, h )

W ( V, k )

(∂fj /∂xi)p ≡ (∂yj/∂xi)p

∂yj

vi.

∂xi

(U′, h′) = (U′, x1′ , . . . , xn′ )

(V ′, k′)

′= (V ′, y1′ , . . . , ym′ )

X Y

p U′

q V

′

∂yj′

∂yj

q wj =

p vi =

∂yj

∂xi

∂yj′

∂yj

∂xi

′

∂yj′

′

p vi

∂yj

∂xi

∂xi′

TpX −→ TqY.

		TpX −→ TqY
	f	p
(d f)p	d fp
1	fm: X −→1 Y gs : Y −→ Z	( U, x1, . . . , xn )
( V, y	, . . . , y ) ( W, z , . . . , z )	X , Y Z	f(U)
V, g(V ) W y = f(x), z = g(y)
f g	g ◦ f : X −→ Z		z =
g(f(x))

d (g ◦ f)p = d gq ◦ d fp.

f : X −→ R

TpX

d fp

V f = d fp(V )

i = 1, . . . , n

Tp X

Y = R
	X		d fp
	f	p	TqR = R
Tp	X −→	R
Tp		R

Tp X

V TpX

d fp(V ) =	∂xi p			vi.
		∂f
			f	V
				(∂/∂xi)pf = (∂f/∂xi)p
				TpX

d x1p, . . . , d xnp .

d xpj	∂	=		∂xj	p	= δij	d xpj (V ) = vj.
	∂xi			∂xi

d fp = ∂fi d xi . ∂x p p

∂xi	=	∂xi p		∂xi′ .
∂f			∂xi′	∂f

vi =

∂xi′

vi′ ,

vi′ =

∂xi

vi.

∂xi

∂xi′

(∂/∂xi)p

viwi

V Tp X

V = vi

d xpi

Y n

f : Y −→ X

p Y

m ≤ n

d fp : TpY −→ TqX ,

q = f(p)

i : Y −→ X ,

i(p) = p

p Y

(U, x , . . . , x ), p U

|V , . . . , y

= x

V U ∩ Y

= x

	m		x1, . . . , xm
	n	q	U
0, . . . , x (q) = 0
			x1, . . . , xn
1	Y		m

(∂/∂x )p, . . . (∂/∂x )p

(U, h) = (U, x1, . . . , xn) p

Tp X
	∂	p	, . . . ,	∂	p ,

	∂x1			∂xn
			Sp		(a, b)

TpY

(n− ∂X

d x1p, . . . , d xnp .

TpX

na+b

(U, h) (U′, h′)

j1′ ...jb′

∂xi1

p . . .

∂xia

∂xj1′

. . .

∂xjb′

j1...jb

Si1′ ...ia′

Si1...ia

∂xi1′

∂xia′

∂xj1

∂xjb

(a, b)

(S + T )j1...jb = Sj1...jb + T j1...jb
i1...ia	i1...ia	i1...ia

(λS)j1...jb = λ · Sj1...jb i1...ia i1...ia

xm+1(q) =

TpX n

TpX

Sj1...jb i1...ia

(a, b)


	X Y
(U, h)	n2

Sij = XiY j .

(U′, h′) n2	Si′j′
					S
(0, 2)		S = X Y			X
Y		S = X Y
			Sp	(a, b) Tp	(c, d)
	Sp Tp = (S T )p				(a+c, b+d)
	j1...jb+d	j1...jb	jb+1...jb+d
	(S T )i1...ia+c	= Si1...ia	· Tia+1...ia+c .

(λS T )p = (S λT )p = λ(S T )p , λ R,

( (R + S) T )p = (R T )p + (S T )p,

( (R S) T )p = (R (S T ) )p.

(R S T )p

			S T 6= T S.
(a, b)	p
				∂				∂
	(d xi1 )p . . .		(d xia )p			p . . .			p .
	(d xi1 )p . . .		(d xia )p	∂xj1		p . . .		∂xjb	p .
		Sp				j1...jb
		Sp			Si1...ia
	Sp	(a, b)						js
	ir
		n
		Xi	j1...js−1ijs...jb−1			˜j1...jb−1
		Xi	Si1...ir−1iir ...ia−1		= Si1...ia−1 .
			Si1...ir−1iir ...ia−1		= Si1...ia−1 .
		=1
			(a − 1, b − 1)
					Sp
	j1...jb		Sp		1		p n X			(U, h)
	Si1...ia		p			x , . . . , x
		p −→ Sp				X
		(a, b)				X

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015251.68 Кб8РТ Билеты осень 2012.docx
#
03.06.2015887.3 Кб16РТО Р2002-JF.doc
#
03.06.201581.41 Кб16Русское войско в 16 веке.doc
#
03.06.20151.05 Mб32С.В. Иванова"Формула Тэйлора и её применение".pdf
#
02.11.2018587.26 Кб8самый краткий справочник.doc
#
27.03.2016552.22 Кб51Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес).pdf
#
03.06.20154.82 Mб12Свободный_полет.pdf
#
03.06.2015263.13 Кб278Синтаксис ассемблера intel.pdf
#
03.06.201519.54 Кб10Система закаливающих мероприятий .docx
#
03.06.20153.08 Mб213Слободянюк Механика и электричество.pdf
#
27.03.20162.16 Mб186Словарь-минимум.pdf