1275_matematicheskaya statistika i veroyatnostnye protsessy_kaile_8sem_

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт (государственный университет)»

«УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной и методической работе

Д.А. Зубцов

Семестр, формы промежуточной аттестации: 8(Весенний) - Экзамен

Аудиторных часов: 34 всего, в том числе: лекции: 34 час.

практические (семинарские) занятия: 0 час. лабораторные занятия: 0 час.

Самостоятельная работа: 8 час.

Подготовка к экзамену: 30 час.

Всего часов: 72, всего зач. ед.: 2

Программа обсуждена на заседании кафедры

1. Цели и задачи

Цель дисциплины

- первоначальное ознакомление слушателей со статистическими методами анализа опытных данных, постановкой задач статистического анализа данных в исследовательской и инженерной практике, а также обучение их простейшим практическим методам оценивания неизвестных параметров, проверки статистических гипотез, статистического анализа случайных процессов.

Задачи дисциплины

усвоение студентами базовых знаний в области методов оценивания неизвестных параметров, проверки статистических гипотез, анализа случайных процессов;

приобретение теоретических знаний в области современных робастных и непараметрических статистических методов;

приобретение навыков работы с распространенными программными средствами статистического анализа данных, а также автоматизации и алгоритмизации решения статистических задач;

оказание помощи студентам в постановке и решении задач анализа опытных данных при проведении собственных экспериментальных исследований.

2.Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы

Дисциплина «Математическая статистика и вероятностные процессы» относится к вариативной части образовательной программы

Дисциплина «Математическая статистика и вероятностные процессы» базируется на дисциплинах: Дифференциальные уравнения; Математический анализ; Общая физика.

3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы

Освоение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций:

способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);

способность использовать базовые знания естественных наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ОПК-1); способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные

образовательные и информационные технологии (ОПК-2); способность к разработке алгоритмических и программных решений в области системного и

прикладного программирования, математических, информационных и имитационных моделей, созданию информационных ресурсов глобальных сетей, образовательного контента, прикладных баз данных, тестов и средств тестирования систем и средств на соответствие стандартам и исходным требованиям (ОПК-3);

способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным исследованиям (ПК-1);

способность понимать, совершенствовать и применять современный математический аппарат (ПК-2); способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид

ихарактер своей профессиональной деятельности (ПК-3).

Врезультате освоения дисциплины обучающиеся должны знать:

основные классы задач математической статистики;

теоретические основы выборочного метода исследования;

простейшие методы оценивания неизвестных параметров и проверки статистических гипотез;

свойства оценок неизвестных параметров;

общие понятия и принципы теории проверки статистических гипотез;

характеристики, свойства случайных процессов и их классификацию;

условия применимости классических статистических методов и робастных, непараметрических методов.

уметь:

пользоваться своими знаниями для постановки и решения прикладных задач анализа данных;

получать наилучшие оценки измеряемых величин и параметров регрессионных моделей, правильно оценивать их достоверность;

проверять основные практически важные классы статистических гипотез;

делать корректные выводы по результатам статистического анализа данных;

формулировать практические проблемы анализа опытных данных на языке математической статистики;

эффективно использовать распространенные пакеты прикладных программ для автоматизации статистических расчетов.

владеть:

культурой постановки практически важных задач статистического анализа опытных данных и интерпретации результатов их решения;

навыками использования распространенных пакетов прикладных программ анализа данных.

4.Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий

4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий

4.2.Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)

Семестр: 8 (Весенний)

1. Введение.

Измерения, наблюдения и погрешности. Классификация основных задач математической статистики. Выборочный метод. Генеральная совокупность. Классификация выборок, свойства выборок.

2. Регрессионные модели и задача оценивания неизвестных параметров.

Прямые и косвенные измерения. Уравнение регрессии, основные понятия. Функция регрессии, ошибки. Постановка задачи оценивания неизвестных параметров. Свойства оценок неизвестных параметров. Качество выборочных оценок, меры ошибок. Свойства состоятельности, несмещенности, эффективности. Методы наименьших квадратов и предельных отклонений (МНК и МПО), область их применимости.

3. Линейное уравнение регрессии и методы его решения.

Примеры линейных регрессионных моделей. Матричный МНК и его модификации (взвешенный МНК, оценка Гаусса - Маркова). МНК с ограничениями на значения оцениваемых параметров.

4. Основы доверительного оценивания неизвестных параметров.

Точечные и доверительные оценки. Связь между точностью и достоверностью оценок. Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Построение доверительных интервалов для оценок параметров нормального распределения.

5. Оценивание при наличии сбоев (выбросов).

Проблема наличия грубых сбоев в измерительной информации. Метод Смирнова – Граббса выделения грубых ошибок. Робастные методы оценивания. Медиана как робастная оценка математического ожидания. Оценивание параметров “засоренных” распределений. Теорема Хубера.

6. Оценивание параметров законов распределения.

Выборочные законы распределения и способы их построения. Методы моментов и максимального правдоподобия, сравнение областей их применимости. Доверительные интервалы для оценки закона распределения.

7. Статистические гипотезы и критерии.

Классификация статистических гипотез: параметрические, непараметрические, простые, сложные гипотезы. Критерии проверки статистических гипотез. Теоретические основы проверки статистических гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода, доверительный уровень, мощность критерия, уровень значимости.

8. Параметрические гипотезы и критерии их проверки.

Критерий Неймана – Пирсона различения двух простых параметрических гипотез. Проверка гипотезы о параметрах биномиального и нормального распределений. Задачи статистического контроля качества как задачи проверки статистических гипотез.

9. Некоторые непараметрические гипотезы и критерии их проверки.

Гипотеза согласия законов распределения. Критерии согласия (Пирсона, Колмогорова - Смирнова) и области их применимости.

Критерии однородности выборок. Использование критериев согласия для проверки однородности.

Одно- и многофакторный дисперсионный анализ, применение дисперсионного анализа для проверки однородности выборок и сравнение областей применимости с критериями согласия.

Критерий знаков и связи, проверяемые с его помощью. Обнаружение асимметрии распределения, проверка случайности отклонения от среднего. Доверительные границы для оценки медианы.

Корреляционный анализ. Выборочный коэффициент корреляции (Пирсона). Порядковые (ранговые) статистики. Ранговые корреляции. Коэффициент корреляции Спирмена. Регрессионный анализ. Проверка статистической значимости регрессионных моделей в целом и их отдельных факторов. Критерий Фишера.

10. Понятие о многомерном статистическом анализе

Задачи снижения размерности данных, факторный анализ, метод главных компонент и сравнение областей их применимости. Кластерный анализ.

11. Случайные процессы, их свойства и характеристики. Задачи статистического анализа случайных процессов

1.Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов / М., Мир, 1983.

2.Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы / М., Финансы и статистика, 2000.

3.Закс Ш. Теория статистических выводов / М., Мир, 1975.

4.Кендалл М., Стюарт А. (3 т.) 1) Теория распределений; 2) Статистические выводы и связи; 3) Многомерный статистический анализ и временные ряды / М., Наука, 1976.

5.Леман Э. Проверка статистических гипотез / М., Наука, 1989.

6.Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / М., Мир, 1980.

7.Хальд А. Математическая статистика с инженерными приложениями / М., Мир, 1965.

8.Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами / М., Мир, 1973.

9.Худсон Д. Статистика для физиков / М., Мир, 1980.

10.Хьюбер П. Робастность в статистике / М., Мир, 1983.

7.Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)

На лекционных занятиях используются мультимедийные технологии, включая демонстрацию презентаций, а также прикладные пакеты программ – как специализированные, так и универсальные, включая электронные таблицы.

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Студент, изучающий курс «Математическая статистика и вероятностные процессы», должен с одной стороны, овладеть основами теории статистических методов, а с другой стороны, должен научиться применять теоретические знания на практике в реальных задачах анализа опытных данных, возникающих при изучении других курсов, а также в процессе научно-исследовательской работы студента.

Поэтому значительное внимание уделяется постановке реальных задач оценивания неизвестных параметров и построения эмпирико-математических моделей, проверки статистических гипотез, а также алгоритмизации изучаемых статистических методов. Кроме того, особое внимание уделяется границам применимости тех или иных статистических методов, особенно, опирающихся на допущения о тех или иных модельных законах распределения.

Успешное освоение курса требует напряжённой самостоятельной работы студента. В программе курса приведено минимально необходимое время для работы студента над темой.

Самостоятельная работа включает в себя:

–проработку учебного материала (по конспектам лекций, учебной и справочной литературе), подготовку ответов на вопросы, предназначенных для самостоятельного изучения;

–решение задач (в т.ч. расчетных, предполагающих применение прикладных пакетов программ), предлагаемых студентам на лекциях и практических занятиях,

–подготовку к экзамену.

Руководство и контроль за самостоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.

9. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам обучения

Приложение

ПРИЛОЖЕНИЕ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Семестр, формы промежуточной аттестации: 8(Весенний) - Экзамен

Разработчик: В.В. Клочков, д.э.н, доцент

пользоваться своими знаниями для постановки и решения прикладных задач анализа данных;

получать наилучшие оценки измеряемых величин и параметров регрессионных моделей, правильно оценивать их достоверность;

проверять основные практически важные классы статистических гипотез;

делать корректные выводы по результатам статистического анализа данных;

формулировать практические проблемы анализа опытных данных на языке математической статистики;

эффективно использовать распространенные пакеты прикладных программ для автоматизации статистических расчетов.

владеть:

культурой постановки практически важных задач статистического анализа опытных данных и интерпретации результатов их решения;

навыками использования распространенных пакетов прикладных программ анализа данных.

3.Перечень типовых контрольных заданий, используемых для оценки знаний, умений, навыков

Промежуточная аттестация по дисциплине «Математическая статистика и вероятностные процессы» осуществляется в форме экзамена (зачета). Экзамен (зачет) проводится в письменной (устной) форме.

Промежуточная аттестация по дисциплине «Математическая статистика и вероятностные процессы» осуществляется в форме экзамена. Экзамен проводится в устной форме.

Примеры контрольных вопросов:

1.Стационарность случайных процессов в широком и в узком смыслах. Означает ли отсутствие тренда стационарность случайного процесса? Можно ли проверять гипотезу о стационарности с помощью критериев наличия тренда?

2.Интервал стационарности случайного процесса. Может ли один и тот же процесс иметь несколько интервалов стационарности?

3.Выборочные коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена, сравнение областей их применимости для анализа связей между случайными величинами.

4.Робастные методы оценивания неизвестных параметров. Почему робастное оценивание предпочтительнее отбраковки сбойных измерений? К чему стремятся оценки Хубера при нулевой доле засорения выборки и при доле засорения, стремящейся к 1?

5.Сравните области применимости дисперсионного анализа и критериев согласия для проверки однородности выборок. Какие данные (числовые, нечисловые) они позволяют анализировать? Какой из этих методов требует более детальной информации?

…

Примеры контрольных заданий:

1.Критическая граница распределения Стьюдента с 9 степенями свободы, соответствующая 95%-й вероятности, приблизительно равна 1,83. Почему для вычисления границ 90%-го доверительного интервала используется 95%-я критическая граница распределения Стьюдента? Можно ли, не обращаясь к статистическим таблицам, сказать, чему равна критическая граница распределения Стьюдента с 9 степенями свободы, соответствующая 5%-й вероятности?

2.Получите формулы для выборочных оценок параметров равномерного на отрезке

распределения методом максимального правдоподобия по выборке . Какому методу становится тождественен ММП при оценивании параметров равномерного распределения?

3. Всегда ли можно проверять с помощью критериев согласия гипотезы о влиянии условий наблюдения на измеряемые величины? В чем отличие критерия знаков от критериев согласия законов распределения?