Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1.1. Основные понятия

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида

известная функция, не равная тождественно нулю. Уравнение

называется однородным.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1.2) и любого частного решения неоднородного уравнения (1.1):

1.2. Общее решение однородного уравнения

Фундаментальной системой решений однородного уравнения (1.2) называется совокупность n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x),K, yn (x) этого уравнения.

Общее решение однородного уравнения (1.2) представляет собой произвольную линейную комбинацию частных решений, входящих в фундаментальную систему решений,

Далее мы будем рассматривать уравнения с действительными коэффициентами, их решения будем искать в действительной форме.

4

Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (1.2), называется алгебраическое уравнение

Обозначим через λ1 ,λ2 ,...,λn корни характеристического

уравнения (1.5), вообще говоря, комплексные.

1.1) Каждому действительному простому корню λ характеристического уравнения (1.5) соответствует частное реше-

ние однородного уравнения (1.2), имеющее вид y = eλx .

ветствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) имеет вид

корень этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами).

Напомним, что для комплексного числа z = x +iy , где x, y R , его действительной и мнимой частью называются соответственно Re z = x , Im z = y . Кроме того, имеет место формула Эйлера e(α+iβ )t = eαt (cos βt +i sin βt).

Паре невещественных корней α ±iβ соответствуют два линейно независимых действительных частных решения однородного уравнения (1.2) Re e(α+iβ )x = eαx cos βx и Im e(α+iβ )x = eαx sin βx , которые включают в фундаментальную систему решений, вместо функций e(α+iβ )x , e(α−iβ )x . Со-

5

ответствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) представляется в виде

где C1 ,C2 - произвольные постоянные.

1.4) Если среди корней характеристического уравнения (1.5) есть корень λ =α +iβ кратности k (k ≥ 2), то и ком-

плексно сопряженный ему корень λ =α −iβ имеет ту же

кратность k . Этим 2k невещественным корням соответствуют 2k линейно независимых частных действительных решений однородного уравнения (1.2)

eαx cos βx , xeαx cos βx , ... , xk −1eαx cos βx , eαx sin βx , xeαx sin βx , ... , xk −1eαx sin βx .

Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) имеет в этом случае вид

где C1 ,C2 ,K,Ck , D1 , D2 ,K, Dk - произвольные постоянные.

Так можно построить совокупность решения, являющуюся общим решением уравнения (1.2).

1.3. Частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида

Пусть правая часть f (x) неоднородного линейного диф-

ференциального уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом, т.е. является суммой функций вида

g(x)= eγx (Pm (x)cosϕx +Qn (x)sinϕx),

здесь Pm (x) и Qn (x) - многочлены степени m и n соответственно.

6

В этом случае для поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения можно использовать ме-

тод неопределенных коэффициентов.

1.5) Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет вид

Если γ не является корнем характеристического уравне-

ния (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай; частное решение неоднородного уравнения (1.1) ищется в виде

где Qm (x) - многочлен той же степени m.

Если γ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, что

имеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1) ищется в виде

Для определения коэффициентов многочлена Qm (x) сле-

дует (1.9) или (1.10) подставить в (1.1), сократить на eγx и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения. Из получившейся системы алгебраических уравнений найдем эти коэффициенты.

1.6) Пусть коэффициенты левой части уравнения (1.1)

уравнения (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай; частное решение неоднородного уравнения (1.1) ищется в виде

Pm (x) и Qn (x), Rp и Tp - многочлены степени не выше p .

7

Если γ +iϕ является корнем (1.5) кратности s , то гово-

рят, что имеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1) ищется в виде

Чтобы найти коэффициенты многочленов Rp и Tp , надо

подставить (1.11) или (1.12) в уравнение (1.1), приравнять коэффициенты при подобных членах и решить полученную систему алгебраических уравнений.

Если правая часть уравнения (1.1) представима в виде суммы нескольких функций f (x)= f1 (x)+ f2 (x)+...+ fl (x), то

частное решение неоднородного уравнения (1.1) состоит из суммы частных решений yi неоднородных уравнений

a0 yk (n) + a1 yk (n−1) +...+ an−1 yk ′ +an yk = fk (x) (k =1,l).

1.4. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах

Пример 1.1 (1-01) Найти действительные решения уравнения y IV + 4 y′′ = 8e2 x +8x2 .

cИсходное уравнение неоднородное.

1.Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y IV + 4 y′′ = 0 .

Составляем характеристическое уравнение: λ4 + 4λ2 = 0 .

Общее решение однородного уравнения в действительной форме

8

yo = C1 +C2 x +C3 cos 2x +C4 sin 2x ,

где C1 ,C2 ,C3 ,C4 - действительные произвольные постоян-

ные.

2. Частное решения неоднородного уравнения.

ких корней у характеристического уравнения нет, следова-

Приравнивая выражения при одинаковых степенях x, имеем

9

Пример 1.2. (1-14) Найти действительные решения уравне-

ния y′′′+3y′′+ y′−5y =10e x −5x .

dИсходное уравнение неоднородное.

1.Найдем общее решение соответствующего однородного

уравнения:

y′′′+3y′′+ y′−5 y = 0 .

Составляем характеристическое уравнение:

λ3 +3λ2 + λ −5 = 0 .

Корень λ1 =1 - угадываем. (λ2 + 4λ +5)(λ −1)= 0 дает

λ2,3 = −2 ± 4 −5 = − 2 ± i .

Корню характеристического уравнения λ1 =1 соответствует частное решение y1 = ex , корням λ2,3 = −2 ±i - решения

y2 = e−2 x cos x и y3 = e−2 x sin x .

Общее решение однородного уравнения в действительной форме

yo = C1e x +C2e−2 x cos x +C3e−2 x sin x ,

где C1 ,C2 ,C3 - действительные произвольные постоянные. 2. Частное решения неоднородного уравнения.

10

10ae x =10e x .

Приравнивая выражения при одинаковых функциях, име-

ем

т.е. кратность корня s = 0 , поэтому частное решение ищем в

Частное решения неоднородного уравнения yч (x)= yч1 (x)+ yч2 (x)= xex + x + 15

11

3. Общее решение неоднородного уравнения

y = yo + yч = C1e x +C2 e−2 x cos x +C3e−2 x sin x + xex + x + 15 . o

Пример 1.3. (1-24) Найти все действительные решения урав-

eИсходное уравнение неоднородное.

1.Найдем общее решение соответствующего однородного

уравнения:

y′′′ + 4 y′′+ y′+ 4 y = 0 .

Общее решение однородного уравнения в действительной форме

yo = C1e−4 x +C2 sin x +C3 cos x ,

где C1 ,C2 ,C3 - действительные произвольные постоянные. 2. Частное решения неоднородного уравнения.

стического уравнения - резонансный случай, кратность корня

12

3. Общее решение неоднородного уравнения

13