Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav
.pdfродной системы (2.13) получим, полагая возникающие при интегрировании произвольные постоянные равными конкретному значению, например, равными нулю.
2.5. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах
Пример 2.1. (2-24) Найти все действительные решения сис-
|
x |
= |
5x − y −4z |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
темы |
& |
= |
−12x +5y +12z , (λ1 = −1, λ2,3 =1). |
||||
y |
|||||||
|
& |
= 10x −3y −9z |
|
|
|||
|
z |
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
−1 |
−4 |
|
c Матрица системы |
|
−12 |
5 |
12 |
|
||
A = |
. |
||||||
|
|
|
|
10 |
−3 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
1. Не все корни характеристического уравнения различны: либо а) существует базис из собственных векторов матрицы A системы, либо б) строим жорданову цепочку для матрицы A системы.
λ1 = −1, (A − λ1 E)h1 = 0 .
Для краткости записи используются следующие обозначения: выражение α(n)+ β(m) над стрелочкой означает, что
перешли к эквивалентной системе алгебраических уравнений, n-ая строка матрицы которой представляет собой линейную комбинацию n-ой и m-ой строк с коэффициентами α и β соответственно.
24
|
|
|
|
|
6 −1 −4 |
|
|
|
|
1 |
(2) |
|
|
6 −1 −4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3)−(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A − λ1 E = −12 |
|
6 12 → |
|
−2 |
|
1 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
10 −3 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)− |
1 |
(2) |
||||
|
|
(1)+2(2) |
|
|
|
2 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(3)+2(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2)+(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
2 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 2 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
→ |
|
− |
|
→ |
|
|
2 → |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
2 0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
|
, |
дает |
|
|
или |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
→ |
|
|
|
|
|
1 |
h1 |
= |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
и |
= |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h1 |
= − |
|
x1 |
|
e−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λ2,3 |
=1, |
(A − λ2 E)h2 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −1 − 4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 −1 −4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A −λ2 E = |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
−12 |
|
|
|
|
→ |
|
−3 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 −3 − |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 −3 −10 |
||||||||||||||||||
|
|
(1)+(2) |
|
|
|
1 0 −1 |
|
|
(2)+3(1) |
|
|
1 0 −1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(3)+3(2) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(3)−(1) |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
дает |
|||||||||||||
→ |
|
−3 |
|
|
3 |
→ |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r |
1 |
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
и |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h2 |
= |
|
x2 |
= |
et . Нашли только один собственный |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор, поэтому строим жорданову цепочку для матрицы A системы.
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −1 −4 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
−1 − 4 |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(A − λ |
|
E)h = h |
|
|
|
|
|
4 12 |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−12 |
|
0 |
→ |
−3 |
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 10 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
−3 10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1)+(2) |
|
|
|
|
|
1 0 −`1 |
|
|
|
|
|
(2)+3(1) |
|
|
1 0 −1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(3)+3(2) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(3)−(1) |
|
|
1 |
0 |
|
|
дает |
||||||||||||||||||||
→ |
− |
3 |
1 |
3 |
|
0 |
→ |
0 |
|
|
3 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h3 =α |
0 |
|
+ |
3 |
или (при α = 0 ) h3 = |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y = |
C |
e −t −2 |
+et |
C |
0 |
+C |
3 |
t 0 |
+ |
3 |
|
|
. n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 2.2. (2-14) Найти все действительные решения сис- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
= |
7x + y +2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
темы |
|
& |
|
= |
2x +3y |
+ z |
|
|
|
, (λ1,2,3 |
=3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
= −8x −2 y − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d Матрица системы A = |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Отметим, что все корни характеристического уравнения равны.
(A − λE)h1 = 0
26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
A −λE = |
|
2 |
0 |
|
|
|
→ |
|
0 |
1 |
|
, |
дает |
|||||
|
|
1 |
|
|
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
2 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
или |
|
0 |
|
. Нашли только один собствен- |
||||||||||
h1 |
= |
|
0 |
|
h1 |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный вектор, поэтому строим жорданову цепочку матрицы A системы:
(A − λE)h2 = h1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
→ |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
, |
дает |
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||||||
|
−8 |
−2 |
|
−4 |
−2 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
или (при α = 0 ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
h2 |
=α |
|
0 |
|
|
|
|
h2 |
= |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A − λE)h3 = h2 .
27
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
дает |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
−8 |
−2 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
|
− 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
h2 = β |
0 |
|
+ |
− 2 |
|
или (при β =1 ) h3 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
+ C2 e3t |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y =C1e3t |
|
|
|
|
t |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+C3 e |
3t t 2 |
|
|
+t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
+ |
−2 |
. o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2.3. (2-01) Найти |
|
все действительные решения сис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
4x +3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
темы |
& |
= |
|
|
|
4 y −3z |
|
|
, (λ1 |
= 5,λ2,3 = 4 ±3i). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
& |
= − x +3y +5z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e Матрица системы |
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Все корни характеристического уравнения различны, следовательно существует базис из собственных векторов матрицы A системы.
λ1 = 5 , (A − λ1 E)h1 = 0 .
28
|
|
−1 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 9 |
|
|
|||||||||
A − λ1 E = |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
−3 |
|
|
|
→ |
|
|
|
0 |
1 |
3 |
, |
|
дает |
|||||||
|
|
|
−1 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
= −3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 = 4 + 3i , (A − λ2 E)h2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
−3i |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 0 −1 |
|
||||||||
A −λ |
2 E = |
|
|
0 |
− |
3i |
|
|
−3 |
|
→ |
|
|
0 |
1 |
|
i |
|
, дает |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
3 1−3i |
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
= i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
В нашем случае |
xλ |
|
e(4+3i )t |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||
= h |
2 |
= i |
e(4+3i )t |
e4t i e3it = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3t |
|
sin 3t |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e4t i |
(cos 3t +i sin 3t) = |
e4t |
|
−sin 3t |
+i cos 3t |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3t |
|
sin 3t |
|
|
|
|
||||||
Вектор-функции |
x2 |
= Re xλ2 |
|
и |
x3 = Im xλ2 |
- действитель- |
ные решения системы. 2. Общее решение
x |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
= C1e5t |
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
z |
|
−1 |
|
|
|
|
cos 3t |
e 4t |
|
|
|
C2 |
|
−sin 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3t |
+C3
sin 3t cos 3t . p sin 3t
29
Пример 2.4. (2-41) Найти все действительные решения сис-
|
|
|
|
|
|
e |
2t |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
темы |
x + y + cos t . |
||||||
|
x = |
|||||||
|
|
|
|
& |
−2x +3y |
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
f Матрица системы A = |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
3 |
||
1. Решаем характеристическое уравнение det(A −λE )= 0 . |
||||||||
|
1−λ |
1 |
|
= |
(1−λ)(3 |
−λ)+2 = λ2 −4λ +5 = 0, отку- |
||
|
|
|||||||
|
−2 |
3 − |
λ |
|||||
|
|
|
|
|
|
даλ1,2 = 2 ± i .
2. Все корни характеристического уравнения различны, поэтому существует базис из собственных векторов матрицы A системы.
λ1 = 2 + i , (A − λ1 E)h1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1−i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
+ |
i |
|
|
|
|||
A − λ E = |
|
|
→ |
1 |
|
|
|
|
|
, дает |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 1−i |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
r |
|
1 |
− |
i |
|
|
r |
|
1 −i |
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
h |
= |
|
2 |
2 |
, или |
h = |
|
|
|
, или |
h |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
+ i |
|
|
|
||||||
В |
нашем |
|
случае |
|
x |
|
= |
|
r |
λ t |
= |
|
|
1 |
(2+i )t |
= |
||||||||||
|
|
λ1 |
|
h e 1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ i |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
||||||
e2t |
+ eit = e2t |
|
|
|
|
|
+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
i |
|
|
cos t |
|
cos t +sin t |
|
|
|
|||||||||||||||
Вектор функции |
x1 = Re xλ |
и |
x2 |
= Im xλ |
|
- действитель- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные решения системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Общее решение однородной системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
C |
|
|
|
cos t |
|
+C |
|
e 2t |
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
e 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
1 |
|
cos t |
−sin t |
|
2 |
|
|
cos t +sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
4. Решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных, полагая C1 = C1 (t ) и C2 = C2 (t ).
Подставляя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
& |
′ |
(t)e |
2t |
cos t + C1 (t )(e |
2t |
′ |
|
′ |
(t)e |
2t |
sin t + |
|
|||
x |
= C1 |
|
|
cos t )+ C2 |
|
|
|||||||||
и |
+ C2 (t )(e 2t sin t )′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
′ |
|
|
|
(cos t −sin t) + C1 (t )(e |
|
|
|
|
′ |
||||
& |
|
|
(t)e |
2t |
2t |
(cos t |
|
||||||||
y = C1 |
|
|
|
−sin t )) |
+ |
+C2′(t)e2t (cos t +sin t) + C2 (t )(e 2t (cos t +sin t ))′
внеоднородную исходную систему, получим для определе-
ния C1′ и C2′ систему
|
′ |
(t )e |
2t cos t +C |
′(t)e2t |
|
|
|
|
|
e |
2t |
||
C |
sin t |
|
= |
|
|
||||||||
|
|
cos t , |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|
|||
|
′ |
(t)e |
2t |
(cos t −sin t)+C |
|
(t)e |
2t |
(cos t +sin t) = 0 |
|
|
|||
C |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сокращаем оба уравнения на e2t , и умножаем первое уравнение на cos t
|
|
′ |
(t)cos |
2 |
C |
|
|
||
|
1 |
(t)(cos t |
||
C |
′ |
|||
|
1 |
|
|
t + C2 |
′(t )sin t cos t |
=1 |
, |
|
−sin t)+ C2 |
′(t )(cos t + sin t ) |
= 0 |
к первому уравнению, умноженному на 2, прибавляем второе, умноженное на (cos t +sin t)
|
|
′ |
(t )cos |
2 |
t +C |
′ |
(t )sin t cos t |
=1 |
|
|
C |
1 |
|
|
2 |
, |
|||||
|
′ |
(t )(cos 2 |
|
2 t)+C |
′(t )(cos t +sin t )2 |
= 0 |
||||
C |
1 |
t −sin |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на 2
|
|
′ |
(t )−C |
|
′ |
(t )= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
′ |
|
|
|
′(t )(cos t +sin t) |
= 0 |
|
|
|||||
C |
1 |
(t )(cos t −sin t )+C |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
C ′ =C |
′ + 2 |
|
Полученный из первого уравнения результат |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
2 |
подставляем |
во второе |
уравнение |
|
|
|
|
|
||||||
2 C |
2 |
+1 cos t = 2 sin t , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t)= |
∫ |
|
|
sin t |
= −t − |
∫ |
d cos t |
dt +c2 |
|
|
откуда |
C2 |
|
−1+ |
|
dt +c2 |
|
= |
|||||
|
cos t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
= −t − ln |
|
cos t |
|
+ c2 , |
|
|
|
аналогично |
находим |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(t)= |
∫ |
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C1 |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
dt +c1 = t −ln |
cos t |
|
+c1 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Общее решение неоднородной системы |
|
||||||||||||||||||||||
x |
= (t −ln |
|
cos t |
|
+c |
|
|
|
cos t |
+ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
e2t |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t −sin t |
|
|
|
|||||
|
|
|
(−t −ln |
|
cos t |
|
+c |
|
sin t |
|
q |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
e 2t . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t +sin t |
|
|
|
2.6. Задачи для самостоятельного решения
Найти все
29.(2-01)
30.(2-02)
31.(2-03)
32.(2-04)
действительные решения систем уравнений:
& |
= 4x +3y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
& |
|
, ( λ1 = 5 , λ2,3 |
= 4 ± 3i ). |
|
y = 4 y −3z |
||||
& |
= −x +3y |
+5z |
|
|
z |
|
|
||
& |
= −2x − y |
+ z |
|
|
x |
|
|
||
& |
|
+2z , ( λ1,2,3 |
= −3 ). |
|
y = 2x −5y |
|
|||
& |
= 3x −2 y |
−2z |
|
|
z |
|
|
||
& |
= 3x +2 y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
& |
|
, ( λ1 = 4 , λ2,3 |
=3 ± 2i ). |
|
y = 3y + z |
||||
& |
= 2x −4 y |
+4z |
|
|
z |
|
|
||
& |
= −4x +2 y −3z |
|
|
|
x |
|
|
||
& |
|
, (λ1,2,3 |
= −2). |
|
y = −2 y + z |
||||
& |
= x − y |
|
|
|
z |
|
|
|
32
|
|
x = 3x + y −2z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
(2-11) |
& |
|
−3z |
, ( λ1 = 2 , λ2,3 |
=3 ± i ). |
||||
y = 5y |
||||||||||
|
|
& |
= −x |
+3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x = 6x + y +2z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
34. |
(2-12) |
& |
|
+2 y + z |
, (λ1,2,3 |
= 2). |
|
|||
y = 2x |
|
|||||||||
|
|
& |
= −8x −2 y −2z |
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x = 4x −5y +5z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
35. |
(2-13) |
& |
|
−2 y +5z , ( λ1 = −1 , λ2,3 |
=1 ± i ). |
|||||
y = 3x |
||||||||||
|
|
& |
= −x |
+2 y − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x = 7x + y +2z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
36. |
(2-14) |
& |
|
+3y + z |
, (λ1,2,3 |
=3). |
|
|
||
y = 2x |
|
|
||||||||
|
|
& |
= −8x −2 y − z |
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x = −4x +2 y +5z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
37. |
(2-21) |
& |
|
− y −6z |
, (λ1,2 |
=1, λ3 |
= 2). |
|||
y = 6x |
||||||||||
|
|
& |
= −8x +3y +9z |
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x = x + y − z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
38. |
(2-22) |
& |
|
+2 y − z , (λ1,2 |
= 2, λ3 |
=3). |
||||
y = −x |
||||||||||
|
|
& |
= 2x |
− y +4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x = 2x + y + z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
39. |
(2-23) |
& |
|
|
, (λ1,2 |
=1, |
λ3 |
= 2). |
||
y = −2x − z |
||||||||||
|
|
& |
= 2x |
+ y +2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x = 5x − y −4z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
40. |
(2-24) |
& |
|
|
|
|
|
= −1,λ2,3 =1). |
||
y = −12x +5y +12z , (λ1 |
||||||||||
|
|
& |
=10x −3y −9z |
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x = −4x + y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
41. |
(2-31) |
& |
|
|
, (λ1 |
= −3, λ2,3 |
= −2 ± i). |
|||
y = x −4 y −2z |
||||||||||
|
|
& |
= −5x +5y + z |
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|