Эконометрика Общие указания по выполнению лабораторных работ

1. Работа должна быть представлена в срок, указанный в учебном графике.

Задания работы составлены в десяти вариантах, выбор которых определяется начальной буквой фамилии студента

Начальная буква фамилии студента	№ варианта контрольной работы
А, Б, В	первый
Г, Д, Е	второй
Ж, 3, И	третий
К, Л	четвертый
М, Н, О	пятый
П, Р, С	шестой
Т, У	седьмой
Ф, X, Ц	восьмой
Ч, Ш, Щ	девятый
Э, Ю, Я	десятый

2. Оформление работы.

Лабораторные работы выполняются в тетради, страницы которой имеют поля для замечаний рецензента и сквозную нумерацию. Работу подписывают и ставят дату выполнения. Титульный лист работы должен содержать следующие сведения:

- фамилию, имя, отчество студента;

- номер группы, вариант;

- название дисциплины;

- дату выполнения работы.

3. Последовательность решения задач должна соответствовать заданию. Перед решением задачи необходимо переписать ее условие Таблицы оформляются в соответствии с правилами, принятыми в статистике, все расчеты производят с точностью до 0,00001.

Лабораторная работа № 1

В первой лабораторной работе рассматривается парная линейная регрессия:

(1)

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). Для линейного уравнения строится следующая система уравнений относительно параметров а и b:

Его решение имеет вид:

или , , (2)

где - средние значения результативного признака у и фактора х, ²_х – дисперсия фактора х, п - объем выборки.

Тесноту связи между переменными в линейной регрессии оценивает линейный коэффициент парной корреляции:

, (3)

Коэффициент детерминации R² определяется как квадрат показателя корреляции (линейного коэффициента) и имеет смысл доли факторного среднего квадратического отклонения (СКО) в общем СКО:

(4)

здесь - значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него заданных значений х.

R² характеризует качество подгонки кривой под измеренные значения у и изменяется от 0 до 1. В пределе при R²=1 уравнение регрессии точно аппроксимирует заданные значения, т.е. все точки на графике точно ложатся на регрессионную кривую, остаточное СКО равно нулю. Другое предельное значение, R²=0, означает, что уравнение регрессии ничего не дает по сравнению с тривиальным предсказанием , и остаточное СКО равно общему; при этом факторное СКО равно нулю. Однако обычные значения R² находятся между нулем и единицей. Для констатации хорошего качества подготовки кривой нужно, чтобы значение R² было не меньше 0,8. Ошибка аппроксимации для каждого измеренного значения у определяется как относительная (выраженная в процентах) разность между значением у и значением , полученным по уравнению регрессии:

(5)

Осреднение этой величины по всем измеренным значениям у дает среднюю ошибку аппроксимации:

(6)

Таким образом, эта величина характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Она должна составлять не более 8 10%. Большее значение свидетельствует о плохом качестве аппроксимации.

По уравнению регрессии можно определить значение коэффициента эластичности. Для линейного уравнения этот коэффициент рассчитывается следующим образом:

(7)

Средний коэффициент эластичности получается при подстановке в формулу среднего значения фактора x.

Статистическая надежность уравнения регрессии в целом оценивается с помощью F- критерия Фишера:

(8)

В числителе и в знаменателе этого выражения стоят значения СКО на одну степень свободы (т.е. дисперсии на одну степень свободы). Факторная дисперсия имеет одну степень свободы и не отличается от значения факторной СКО:

(9)

Остаточная дисперсия имеет число степеней свободы, равное (n-2):

(10)

При анализе достоверности уравнения регрессии в целом фактическое значение F-критерия сравнивается с табличным, которое берется при некотором уровне значимости (например, 0,05) и двух степенях свободы - числителя, равной 1, и знаменателя, равной (n - 2): (см. Таблица F-критерия Фишера)

Далее выдвигается нулевая гипотеза Н_о том, что остаточная дисперсия равна факторной, т.е. . Это эквивалентно утверждению статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная гипотеза Н₁ говорит о том, что факторная дисперсия превосходит остаточную, что и означает обоснованность предложенного уравнения и статистическую значимость связи между у и х.

Если , Н_о не отвергается (т.е. принимается), и уравнение регрессии считается статистически незначимым. В противном случае, т.е. превышение факторной дисперсии над остаточной считается неслучайным, и Н_о отвергается. При этом принимается H₁, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Прогнозное значение результативного признака получается при подстановке в уравнение регрессии прогнозного значения фактора . Доверительный интервал прогноза значения для вероятности определяется по выражению:

(11)

Значение определяется по таблице t-распределения Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы . Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

(12)

где (13)

Решение типового задания 1.

По семи территориям Уральского района за 1995г. известны значения двух признаков:

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (у)	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., (х)
Удмуртская республика	68,8	45,1
Свердловская обл	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.